Methode der Charakteristiken

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Die Methode der Charakteristiken ist eine Methode zur Lösung partieller Differentialgleichungen (PDE), die typischerweise erster Ordnung und quasilinear sind, also Gleichungen vom Typ

   P(x,t, u) \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t} + Q(x,t, u) \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = R(x, t, u),

für eine Funktion  u (x,t) mit der Anfangsbedingung u(x,0)= f (x).

Die Gleichung ist quasilinear, da die Ableitungen nur linear auftreten (da u in den Koeffizienten P, Q auftreten kann die Gleichung aber nichtlinear in u sein).

Die grundlegende Idee besteht dabei in der Reduktion des Problems auf die Lösung eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen durch eine Koordinatentransformation auf Hyperflächen (Charakteristiken). Die PDE kann dann als Anfangswertproblem in dem neuen System mit Anfangswerten auf den Charakteristik schneidenden Hyperflächen gelöst werden. Störungen breiten sich längs der Charakteristiken aus. Die Methode kann auch allgemein auf Hyperbolische Partielle Differentialgleichungen angewandt werden, deren Prototyp die Wellengleichung ist, und auf einige weitere PDE höherer Ordnung.

Charakteristiken spielen eine Rolle in der qualitativen Diskussion der Lösung bestimmter PDE und in der Frage, wann Anfangswertprobleme für diese PDE korrekt gestellt sind.

Idee[Bearbeiten]

Um die partielle Differentialgleichung in ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen zu überführen, werden die Koordinaten t und x über zwei neue Koordinaten  t=t(\tau,\xi) und  x=x(\tau,\xi) parametrisiert. Zunächst wird die gesuchte Funktion  u(x,t) = u(x(\tau,\xi),t(\tau,\xi)) nach \tau abgeleitet (Anwendung der Kettenregel!)

\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\tau} = \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} \tau} + \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \tau}.

Die obige quasilineare PDE wird mit den „Charakteristikengleichungen“:

 \frac{ \mathrm{d} t}{\mathrm{d} \tau} = P(x,t, u),
 \frac{ \mathrm{d} x}{\mathrm{d} \tau} = Q(x,t, u)

zu

\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\tau} =  \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} \tau} + \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \tau} = R(x, t,u)

Also ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen in den neuen Koordinaten.

Geometrische Interpretation[Bearbeiten]

Geometrisch kann das auch so beschrieben werden[1]. Man betrachte die Lösung als Fläche z= u (x,t) als Fläche im Raum (x,t,z) (Integralflächen). Dann hat die Fläche den Normalenvektor:

\vec N= \left( \frac{ \mathrm{d} u}{\mathrm{d} x},  \frac{ \mathrm{d} u}{\mathrm{d} t}, -1 \right)

und die PDE besagt geometrisch, dass das Vektorfeld \vec X (x,t,z)= \left( Q (x,t,z), P (x,t,z), R (x,t,z) \right) der Charakteristiken auf z=u (x,t) tangential zur Integralfläche z= u (x,t) ist, das Skalarprodukt des Vektorfelds \vec X (x,t,z) mit dem Normalenvektor \vec N (x,t,z) verschwindet:

 \vec X \cdot \vec N = 0.

Die Lösungen der PDE sind Integralkurven des Vektorfeldes  \vec X (x,t,z) (im Teilraum der x,t sind das die Charakteristiken). In einer Parameterdarstellung der Integralkurve mit Parameter \tau ergeben sich die Gleichungen:

\vec X = \left( Q, P, R \right) = \left( \frac{ \mathrm{d} x}{\mathrm{d} \tau},  \frac {\mathrm{d} t}{\mathrm{d} \tau},  \frac {\mathrm{d} z}{\mathrm{d} \tau}  \right)

für die Charakteristiken oder (Lagrange-Charpit-Gleichungen):

 \frac{ \mathrm{d} x}{Q} =  \frac{ \mathrm{d} t}{P}= \frac{ \mathrm{d} z}{R}

Beispiel 1: Einfache Transportgleichung[Bearbeiten]

Gegeben sei eine einfache Transportgleichung, das einfachste Beispiel eines Typs von PDE 1. Ordnung, die einen zeitlich-räumlichen Fluß beschreiben (zum Beispiel Advektion, Transport von Chemikalien in einer Flüssigkeit):

  u_t + c \cdot u_x = 0

mit der Anfangsbedingung  u(t=0,x)=f(x), t > 0, x\in\mathbb{R} und der reellen Konstanten c\in\mathbb{R}. Ableitung von u nach \tau und Koeffizientenvergleich liefert ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen:

  \frac{ \mathrm{d} t}{\mathrm{d} \tau} = P(x,t,u) = 1
\frac{ \mathrm{d} x}{\mathrm{d} \tau} = Q(x,t, u) = c
 \frac{ \mathrm{d} u}{\mathrm{d} \tau} = R (x,t, u)= 0

sowie die Anfangsbedingungen  t(\tau=0)=0 \, ,\, x(\tau=0)=\xi \, ,\,u(\tau=0)=f(\xi)

Da die Gleichungen hier komplett voneinander entkoppelt sind, ist die Lösung sehr einfach:

 t=\tau
 x=c\tau+\xi
 u=f(\xi)

Hieraus folgt sofort \xi=x-c t und damit die Lösung der Transportgleichung in den alten Koordinaten:

u(x,t)=f(x-ct).

x=c t +x_0 sind die Gleichungen der Charakteristiken. Der Wert von u auf der x-Achse bei t=0 legt den Wert von u längs der Charakteristiken-Geraden mit Steigung c für alle Zeiten fest, was sich mathematisch in der Form der Lösung u(x,t)=f(x-ct)=f(x_0) ausdrückt. Längs der Charakteristik ändert sich u nicht, was gerade durch die Differentialgleichung  \frac { \mathrm{d} u}{\mathrm{d} \tau}=\frac { \mathrm{d} u}{\mathrm{d} t} =0 längs der Charakteristik x=c t +x_0 ausgedrückt wird.

Beispiel 2: Verallgemeinerte Transportgleichung[Bearbeiten]

Man betrachte eine allgemeinere Transportgleichung mit variablen Koeffizienten:

P (x,t) \frac{ \mathrm{d} u}{\mathrm{d} t} + Q (x,t) \frac{ \mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} +  R (x,t) u=0

mit der Anfangsbedingung u (x,0)= f(x).

Es wird eine neue Variable \tau eingeführt, so dass die PDE sich auf Kurven  x(\tau), t (\tau) für  \tau>0 auf eine gewöhnliche Differentialgleichung reduziert. Dazu wird

 \frac {\mathrm{d} t}{\mathrm{d} \tau}  = P (x (\tau), t (\tau))
 \frac {\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \tau}  = Q (x (\tau), t (\tau))

gewählt (die Charakteristiken-Gleichungen), so dass:

 \frac {\mathrm{d} u}{\mathrm{d} \tau} =  \frac {\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}  \frac {\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \tau}  +  \frac {\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t}  \frac {\mathrm{d} t}{\mathrm{d} \tau} = Q (x,t) \frac{ \mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} + P (x,t) \frac{ \mathrm{d} u}{\mathrm{d} t} =- R (x,t) u

Die PDE wird dann eine gewöhnliche Differentialgleichung:

 \frac {\mathrm{d} u}{\mathrm{d} \tau}  + R (x (\tau), t (\tau)) u=0

Die zweite Koordinate der Koordinatentransformation ist \xi = x (\tau=0) und die Funktionswerte u längs der Kurven \tau >0 sind durch die Anfangswerte in \xi vorgegeben.

Betrachtet man z.B. die Gleichung (partielle Ableitungen werden der Einfachheit halber mit tiefgestellten Indizes bezeichnet):

u_t+c \, u_x+a \, u=0

mit u (x, 0)=u (x_0, 0)= f(x_0)=K, so ergeben sich mit P= 1, Q= c, R=a, wieder die Charakteristiken x-ct=x_0 wie in Beispiel 1, aus der dritten Gleichung u_t+au=0 ergeben sich aber Lösungen u (x,t)=f(x-ct)\exp {(-at)}=f(x_0)\exp {(-at)}= K \exp {(-at)}. Also diesmal nicht konstante Lösungen längs der Charakteristik wie in Beispiel 1, sondern exponentieller Zerfall mit der Zeit.

Als weiteres Beispiel werde:

u_t+x \, u_x=0

betrachtet, mit u(x,0)=f(x). Hier ist P= 1, Q= x, R=0, und man hat keine Geraden als Charakteristiken sondern x=x_0 \exp {(t)}. Längs der Charakteristiken ist der Funktionswert konstant, so dass sich als Lösung ergibt  u(x,t)=f(x_0)=f(x \, \exp {(-t)}).

Beispiel 3: Burgersgleichung[Bearbeiten]

Ein weiteres Beispiel sind Erhaltungssätze der Form:

u_t + F_x (u (x,t))=0

zum Beispiel die Burgersgleichung im Fall verschwindender Viskosität (nicht-viskose Burgersgleichung):

F= \frac {1}{2} u^2

und damit

 u_t +u \, u_x=0

mit der Anfangsbedingung  u (x, 0) =f(x). Hier ist  P= 1, Q= u, R=0, die Gleichung ist nichtlinear. Die Charakteristiken sind x=x_0 +u \, t = x_0 + f (x_0) \, t, das heisst Geraden, die aber variable Steigung haben, die vom Funktionswert längs der Charakteristiken abhängt. Die Lösung ist formal ähnlich wie in Beispiel 1  u (x,t)= f (x-ut) =f(x_0) und längs der Charakteristik konstant (dort gilt  u_t=0).

Die Burgersgleichung wird oft als Modellsystem nichtlinearer hydrodynamischer Gleichungen benutzt. Das Neue ist in diesem Fall, dass sich die Charakteristiken wegen der variablen Steigung schneiden können. Am Schnittpunkt wird die Lösung mehrdeutig und eine eindeutige Lösung des Problems existiert nicht mehr. Es bildet sich eine Unstetigkeit, für in Richtung fortschreitender Zeit konvergierende Charakteristiken eine Stoßwellenfront (und bei divergierenden Charakteristiken eine Verdünnungsfront). Man kann den Zusammenbruch klassischer Lösungen aber durch Betrachtung schwacher Lösungen (Distributionen) umgehen, wobei zur Auswahl der physikalisch korrekten Lösung Entropie-Bedingungen hinzugezogen werden. Im Fall der Burgers-Gleichung hat die Stoßwelle eine Geschwindigkeit, die dem Mittelwert aus den Funktionswerten u rechts und links der Stoßfront entspricht.

Beispiel 4: Wellengleichung[Bearbeiten]

Die Wellengleichung als Prototyp einer linearen hyperbolischen partiellen Differentialgleichung 2. Ordnung:

 \frac{ \partial^2 u}{{\partial x}^2} -\frac {1}{c^2}  \frac{ \partial^2 u}{{\partial t}^2} =0

mit einer Konstanten c. Man transformiert auf neue Variablen w= x+ct, v=x-ct, womit sich die Wellengleichung in:

 {\left(   \frac { \partial}{\partial w} + \frac { \partial}{\partial v}  \right)  }^2  u ={\left(   \frac{ \partial}{\partial w} - \frac{ \partial}{\partial v}  \right)  }^2 u

transformiert, woraus:

  \frac{ \partial^2}{ \partial w \partial v} u=0

oder

 \left(  \frac { \partial }{\partial x} + \frac {1}{c}   \frac { \partial}{\partial t} \right) \cdot  \left(  \frac { \partial}{\partial x} - \frac {1}{c}   \frac { \partial}{\partial t} \right) u =0

folgt, also u (w,v)= u_1(w) + u_2 (v) oder u=u_1 (x+ct)+u_2 (x-ct).

Die Gleichungen der Charakteristiken sind w = const, v=const oder x= x_0  \pm ct mit einer Konstanten x_0.

Allgemeine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung[Bearbeiten]

Sie ist gegeben durch:

A u_{tt} + 2 B u_{tx} + C u_{xx} + D u_x + E u_t + F u=0

wobei hier partielle Ableitungen durch tiefstehende Indizes angedeutet sind.

Betrachtet man die Matrix

 M=
  \begin{pmatrix} 
    A & B \\ 
    B & C
  \end{pmatrix}

der Koeffizienten der höchsten Ableitungen sind die Gleichungen elliptisch für det \, (M )= AC -B^2 >0, parabolisch für det \, (M)=0 und hyperbolisch für  det \, (M) <0.

Zusätzlich zur PDE gelte auf einer beliebigen Kurve:[2]

 d u_t=u_{tt} dt + u_{tx} dx
 d u_x=u_{xt} dt + u_{xx} dx

Das sind drei lineare Gleichungen für die zweiten Ableitungen  u_{tt}, u_{tx}, u_{xx}. Damit sich diese eindeutig aus den als bekannt vorausgesetzten Werten von  u, u_t, u_x bestimmen lassen muss für die Determinante gelten:

\Delta =det \begin{pmatrix} 
    A & 2B & C\\ 
    dt & dx & 0\\
    0 &dt & dx
  \end{pmatrix}  \neq 0

Für einige Kurven, die Charakteristiken der PDE (der Name stammt von Gaspard Monge), gilt dies nicht, dort gilt \Delta=0:

 A {(dx)}^2 -2 B dx dt + C {(dt)}^2=0

oder

 x_t= \frac {B \pm \sqrt {(B^2-AC) } } {A}

Das Anfangswertproblem ist nur eindeutig lösbar, falls die Kurven, auf denen die Anfangswerte vorgegeben sind, nicht tangential zu den Charakteristiken sind. Das ist die Aussage des Satzes von Cauchy-Kowalewskaja für das sogenannte nicht-charakteristische Cauchy-Problem. Da unter dem Wurzelzeichen  - det M steht ergibt sich, dass Hyperbolische Gleichungen zwei Charakteristikenscharen haben, parabolische eine und elliptische gar keine.

Man kann die Charakteristiken auch geometrisch als Kurven in zwei Dimensionen (x,t) betrachten, deren Nomalenvektoren  \vec n die Gleichung

\vec n M \vec n^T=0

erfüllen (äquivalent gilt das für die Tangentialvektoren der Kurven).

Da \vec n \sim (u_t, u_x)

gilt dann

u_t^2 A + 2 B u_t u_x +Cu_x^2=0

Führt man zur Diagonalisierung der quadratischen Gleichung eine Hauptachsentransformation durch, erhält man nur beim Fall der hyperbolischen Gleichung (Eigenwerte mit entgegengesetztem Vorzeichen) eine Form, die wie in Beispiel 4 (klassische Wellengleichung) durch Variablentransformation auf Gleichungen 1. Ordnung mit zwei Charakteristiken zurückgeführt werden kann.

Zum Beispiel ist für die Wellengleichung:

M= \begin{pmatrix} 
    -\frac{1}{c^2} & 0 \\ 
    0 & 1
  \end{pmatrix}

und die Normalenvektoren \vec n=(-c, 1), \vec n= (c, 1) stehen senkrecht auf den zugehörigen Charakteristiken  x+ct bzw. x-ct.

Ein Beispiel einer Gleichung, in der alle drei Typen von PDE vorkommen ist die Euler-Tricomi-Gleichung oder Tricomi-Gleichung:

u_{tt}-t u_{xx}=0

für die det \, (M )= AC -B^2 = -t, die für positive t hyperbolisch ist, für t=0 parabolisch und für negative t elliptisch. Entsprechend hat sie für negative t keine Charakteristiken, für t=0 eine, die sich für t >0 verzweigt und dort die Charakteristikengleichung  dx^2 - t \, dt^2=0 hat, also Charakteristiken 3x \pm 2 t^{\frac {3}{2}}= const.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Fritz John Partial Differential Equations, 4. Auflage, Springer Verlag 1982, S.9
  2. Diskussion nach Arnold Sommerfeld Partial Differential Equations in Physics, Academic Press 1949, S. 36f