Methode der Charakteristiken

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Die Methode der Charakteristiken ist eine Methode zur Lösung quasilinearer partieller Differentialgleichungen erster Ordnung, also Gleichungen vom Typ

P(t,x,u) \frac{\partial u}{\partial t} + Q(t,x,u) \frac{\partial u}{\partial x} = R(t,x,u),

bei denen die Ableitungen nur linear auftreten. Die grundlegende Idee besteht dabei in der Reduktion des Problems auf die Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Idee[Bearbeiten]

Um die partielle Differentialgleichung in ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen zu überführen, werden die Koordinaten t und x über zwei neue Koordinaten t=t(\tau,\xi) und x=x(\tau,\xi) parametrisiert. Zunächst wird die gesuchte Funktion u(t,x) = u(t(\tau,\xi),x(\tau,\xi)) nach \tau abgeleitet (Anwendung der Kettenregel!)

\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\tau} = \frac{\partial u}{\partial t} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau} + \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\tau}.

Ein anschließender Koeffizientenvergleich mit der Ausgangsgleichung liefert ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen:

t_\tau  = P(t,x,u), \quad x_\tau  = Q(t,x,u), \quad u_\tau  = R(t,x,u).

Diese drei Gleichungen liefern zum einen die Lösung der partiellen Differentialgleichung in den neuen Koordinaten und zum anderen die Transformationsvorschrift - die sogenannten Charakteristiken oder charakteristischen Linien - (t,x) \leftrightarrow (\tau,\xi). Damit kann die gefundene Lösung in die alten Koordinaten zurücktransformiert werden.

Beispiel[Bearbeiten]

Gegeben sei eine einfache Transportgleichung mit Anfangsbedingung:

u_t + c \cdot u_x = 0, \quad u(t=0,x)=f(x)

mit t\in\left[0,\infty\right), x\in\mathbb{R} und der Konstanten c\in\mathbb{R}. Ableitung von u nach \tau und Koeffizientenvergleich liefert ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen:

\begin{array}{ll}
 t_\tau = 1, & t(\tau=0)=0 \\
 x_\tau = c, & x(\tau=0)=\xi \\
 u_\tau = 0, & u(\tau=0)=f(\xi)
\end{array}.

Da die Gleichungen hier komplett voneinander entkoppelt sind, ist die Lösung sehr einfach:

t=\tau, \quad x=c\tau+\xi, \quad u=f(\xi).

Hieraus folgt sofort \xi=x-c t und damit die Lösung der Transportgleichung in den alten Koordinaten u(t,x)=f(x-ct).

Weblinks[Bearbeiten]