Metrischer Zusammenhang

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Ein metrischer Zusammenhang beziehungsweise ein mit der Metrik kompatibler Zusammenhang ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es handelt sich um einen Spezialfall eines Zusammenhangs.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein Vektorbündel mit (induzierter) Metrik . Ein Zusammenhang auf heißt metrischer Zusammenhang, wenn für alle Schnitte

gilt.

Die Metrik ist also kovariant konstant bezüglich des metrischen Zusammenhangs. Aus dieser Eigenschaft folgt für alle

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Das bekannteste Beispiel eines metrischen Zusammenhangs ist der Levi-Civita-Zusammenhang. In diesem Fall ist das Vektorbündel das Tangentialbündel an mit der riemannschen Metrik von . Da zu jeder riemannschen Mannigfaltigkeit genau ein Levi-Civita-Zusammenhang existiert, gibt es insbesondere mindestens einen metrischen Zusammenhang auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit.

Affiner Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Vektorbündel mit Metrik dann ist die Menge der metrischen Zusammenhänge auf ein nicht leerer affiner Raum modelliert mit den (vektorwertigen) 1-Formen aus Um die Notation zu vereinfachen wird in diesem Abschnitt durch die Menge der metrischen Zusammenhänge auf bezeichnet. Der Raum ist ein affiner Raum bedeutet, es gibt eine Abbildung

so dass

  1. für jedes die Gleichung gilt,
  2. für jedes und für alle das Assoziativgesetz gilt und
  3. für alle die Abbildung bijektiv ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]