Metrischer Zusammenhang

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Ein metrischer Zusammenhang beziehungsweise ein mit der Metrik kompatibler Zusammenhang ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es handelt um einen Spezialfall eines Zusammenhangs.

Definition[Bearbeiten]

Sei (M,\tilde{g}) eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei (E \to M,g) ein Vektorbündel mit (induzierter) Metrik g. Ein Zusammenhang \nabla auf E heißt metrischer Zusammenhang, wenn für alle Schnitte X, Y, Z \in \Gamma(E)

(\nabla_X g)(Y,Z) = 0

gilt.

Die Metrik ist also kovariant konstant bezüglich des metrischen Zusammenhangs. Aus dieser Eigenschaft folgt für alle X, Y, Z \in \Gamma(E)

X(g(Y,Z)) =g(\nabla_X Y,Z)+g(Y,\nabla_X Z).

Beispiele[Bearbeiten]

  • Das bekannteste Beispiel eines metrischen Zusammenhangs ist der Levi-Civita-Zusammenhang. In diesem Fall ist das Vektorbündel das Tangentialbündel TM an M mit der riemannschen Metrik von M. Da zu jeder riemannschen Mannigfaltigkeit genau ein Levi-Civita-Zusammenhang existiert, gibt es insbesondere mindestens einen metrischen Zusammenhang auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit.

Affiner Raum[Bearbeiten]

Sei (E \to M,g) ein Vektorbündel mit Metrik g, dann ist die Menge der metrischen Zusammenhänge auf E ein nicht leerer affiner Raum modelliert mit den (vektorwertigen) 1-Formen aus \mathcal{A}^1(M,\operatorname{End}(E)). Um die Notation zu vereinfachen wird in diesem Abschnitt durch X die Menge der metrischen Zusammenhänge auf E bezeichnet. Der Raum X ist ein affiner Raum bedeutet, es gibt eine Abbildung

l : \mathcal{A}^1(M,\operatorname{End}(E)) \times X \to X,

so dass

  1. für jedes \nabla \in X die Gleichung 0 + \nabla = \nabla gilt,
  2. für jedes \omega, \nu \in \mathcal{A}^1(M,\operatorname{End}(E)) und für alle \nabla \in E das Assoziativgesetz (\omega + \nu) + \nabla = \omega + (\nu + \nabla) gilt und
  3. für alle \nabla \in X die Abbildung \omega \mapsto \omega + \nabla bijektiv ist.

Literatur[Bearbeiten]