Mittelwertsatz der Integralrechnung

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Der Mittelwertsatz der Integralrechnung (auch Cauchyscher Mittelwertsatz genannt) ist ein wichtiger Satz der Analysis. Er erlaubt es, Integrale abzuschätzen, ohne den tatsächlichen Wert auszurechnen, und liefert einen einfachen Beweis des Fundamentalsatzes der Analysis.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur geometrischen Deutung des Mittelwertsatzes für .

Hier wird das Riemann-Integral betrachtet. Die Aussage lautet:

Sei eine stetige Funktion, sowie integrierbar und entweder oder (d. h. ohne Vorzeichenwechsel). Dann existiert ein , so dass

gilt. Manche Autoren bezeichnen die obige Aussage als erweiterten Mittelwertsatz und die Aussage für als Mittelwertsatz oder ersten Mittelwertsatz. Für bekommt man den wichtigen Spezialfall:

,

der sich geometrisch leicht deuten lässt: Die Fläche unter der Kurve zwischen und ist gleich dem Inhalt eines Rechtecks mittlerer Höhe.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei auf dem Intervall . Der andere Fall kann durch Übergang zu auf diesen zurückgeführt werden.

Wegen Stetigkeit nimmt in nach dem Satz vom Minimum und Maximum ein Minimum und ein Maximum an. Mit und ist

;

mit Monotonie und Linearität des Riemann-Integrals weiter

.

Mit gilt somit

(1).

Es gilt nun folgende Fälle zu unterscheiden:

Fall I: . - Dann hat die Behauptung die äquivalente Form

;

die rechte Seite dieser Gleichung ist eine Zahl, und zu zeigen ist, dass für ein diese Zahl als Wert annimmt (2).

Wegen ist , und (1) hat nach Division durch die Form

;

hieraus folgt (2) mit dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen, q. e. d.


Fall II: . - Dann folgt aus (1):

,

und die Behauptung gewinnt die für jedes gültige Form


, q. e. d.

Bedingung an g[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bedingung, dass oder gilt, ist wichtig. In der Tat gilt der Mittelwertsatz für Funktionen ohne diese Bedingung im Allgemeinen nicht, wie das folgende Beispiel zeigt: Für und ist

,

jedoch

für alle .

Zweiter Mittelwertsatz der Integralrechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien Funktionen, monoton und stetig. Dann existiert ein , so dass

.

Im Fall, dass sogar stetig differenzierbar ist, kann man wählen. Der Beweis erfordert partielle Integration, den Fundamentalsatz der Analysis und den obigen Satz.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2004, ISBN 3-528-67224-2.
  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6.