Modul (Mathematik)

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Ein Modul [ˈmoːdul] (Maskulinum, Plural: Moduln [ˈmoːduln], die Deklination ist ähnlich wie die von Konsul) ist eine algebraische Struktur, die eine Verallgemeinerung eines Vektorraums darstellt.

Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Modul über einem kommutativen Ring mit Einselement ist eine abelsche Gruppe zusammen mit einer Abbildung

          (genannt Multiplikation mit Skalaren, Skalarmultiplikation[1]),

so dass gilt:

Fordert man zusätzlich noch , so nennt man den Modul unitär.

Ein Vektorraum ist dann ein spezieller Modul, dessen Ring ein Körper ist. Damit kann man in der Definition die Axiome eines Vektorraums direkt abschreiben und überall Körper durch Ring ersetzen.

Das Studium dieser Moduln ist Gegenstand der kommutativen Algebra.

Abelsche Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede abelsche Gruppe ist auf eindeutige Weise ein unitärer -Modul. Wegen

sind höchstens

und analog

(für ) denkbar. Da diese einzig mögliche Verknüpfung aber die Modulaxiome erfüllt, folgt die Behauptung. (Hier wurde die abelsche Gruppe additiv geschrieben.)

Vektorräume mit einer linearen Abbildung in sich selbst[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei der Polynomring über einem Körper . Dann entsprechen die -Moduln eins-zu-eins den Paaren bestehend aus einem -Vektorraum und einem Endomorphismus von .

  • Sei ein -Modul. Wir stellen fest, dass auch ein -Vektorraum ist, da in eingebettet ist. Sei dieser Vektorraum. Das zu gehörige Paar ist nun , wobei durch
gegeben ist.
  • Zu einem Paar definieren wir eine -Modulstruktur durch
und setzen das -linear auf fort, d.h. für alle

setzen wir

Ringideale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder Ring ist ein Modul über sich selbst mit der Ringmultiplikation als Operation. Die Untermoduln entsprechen dann genau den Idealen von (da in diesem Abschnitt kommutativ ist, brauchen wir nicht zwischen Links- und Rechtsidealen zu unterscheiden).

Moduln über einem beliebigen Ring[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Ring. Ist nicht kommutativ, so muss man zwischen Links- und Rechtsmoduln unterscheiden.

Ein -Linksmodul ist eine abelsche Gruppe zusammen mit einer Abbildung

die in beiden Argumenten additiv ist, d. h. für alle gilt

und

und für die

für alle

gilt. Wird vorausgesetzt, dass ein unitärer Ring ist, so fordert man meist auch, dass der -Linksmodul unitär ist, d. h.

für alle .

Ein -Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe zusammen mit einer in beiden Argumenten additiven Abbildung

so dass

für alle

Ein Rechtsmodul über einem unitären Ring ist unitär, wenn

für alle gilt.

Ist kommutativ, so stimmen die Begriffe Links- und Rechtsmodul (bis auf die Schreibweise) überein, und man spricht einfach von -Moduln.

Alternative Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ein -Linksmodul ist eine abelsche Gruppe zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus
Dabei ist der Ring der Endomorphismen von mit der Verkettung als Produkt:
für
  • Ein -Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus
Dabei sei der Gegenring des Endomorphismenrings, das heißt der Ring der Endomorphismen von mit der Rechtsverkettung als Produkt:
für

Bimoduln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien und Ringe. Dann ist ein --Bimodul eine abelsche Gruppe zusammen mit einer -Linksmodul- und einer -Rechtsmodulstruktur, so dass

für

gilt.

Alternativ ist ein --Bimodul eine abelsche Gruppe zusammen mit einem Ringhomomorphismus

Wechsel des Rings[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

und seien Ringe und sei ein Ringhomomorphismus. Für jeden -Modul definiert die Vorschrift

eine -Modulstruktur auf , die die mit und der -Modulstruktur assoziierte genannt wird. Dieser -Modul wird mit oder mit bezeichnet. Ist insbesondere ein Unterring von und die kanonische Einbettung, dann wird der durch Einschränkung der Skalare von auf erhaltene -Modul genannt.

Ist ein Untermodul von , dann ist ein Untermodul von und [2]

Moduln über einer assoziativen Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein kommutativer Ring und eine assoziative R-Algebra, so ist ein -Linksmodul ein -Modul zusammen mit einem -Modulhomomorphismus

so dass

für

gilt.

Ein -Rechtsmodul ist ein -Modul zusammen mit einem -Modulhomomorphismus

so dass

für

gilt.

Unitäre Moduln und Bimoduln sind analog zum Fall der Ringe definiert.

Moduln über einer Lie-Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine Lie-Algebra über einem Körper . Ein -Modul oder eine Darstellung von ist ein -Vektorraum zusammen mit einer -bilinearen Abbildung

so dass

für

gilt.

Alternativ ist ein -Modul ein -Vektorraum zusammen mit einem Homomorphismus von Liealgebren über

dabei ist die -Algebra der Endomorphismen von mit dem Kommutator als Lieklammer.

-Moduln sind dasselbe wie Moduln unter der universellen einhüllenden Algebra von .

Moduln über einer Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine Gruppe. Ein -Modul oder genauer -Linksmodul ist eine abelsche Gruppe zusammen mit einer äußeren zweistelligen Verknüpfung

,

so dass

für alle

und

für alle

sowie

für das neutrale Element von und für alle

gilt.

Ein -Rechtsmodul ist analog definiert; die zweite Bedingung ist durch

für alle

zu ersetzen.

Alternativ dazu ist ein -(Links-)Modul eine abelsche Gruppe zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

dabei ist die Gruppe der Automorphismen von mit der Verknüpfung

für

Ein -Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

das Produkt auf ist durch

für

gegeben.

Ist weiter ein Ring, so ist ein --Modul eine abelsche Gruppe mit einer -Modul- und einer -Modulstruktur, die in dem folgenden Sinne kompatibel sind:

für

Alternativ ist ein --Modul ein -Modul zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

dabei ist die Gruppe der Automorphismen von als -Modul.

--Moduln sind dasselbe wie Moduln über dem Gruppenring .

Ist speziell ein Körper, so stimmt der Begriff des --Moduls mit dem der -linearen Darstellung von überein.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Modul – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Alexander Hölzle: Einführung in die Modultheorie.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. nicht zu verwechseln mit Skalarprodukt
  2. Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3. 2. Auflage. Springer, 1998, ISBN 3-540-64243-9, § 3. Tensor products, 2., S. 221 (Internet Archive).