Mohrscher Spannungskreis

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Bild 1: Mohrscher Kreis für 2D Spannungszustand

Der Mohrsche Kreis oder auch Mohrsche Spannungskreis, benannt nach Christian Otto Mohr, ist eine Möglichkeit, den 2D-Spannungszustand eines Teilchens zu veranschaulichen oder zu untersuchen.

Dazu wird am Teilchen ein Freischnitt durchgeführt, wodurch der Schnittspannungsvektor t auf der Schnittfläche sichtbar wird. Dieser Spannungsvektor wird zerlegt in seinen Anteil senkrecht zur Schnittfläche und seinen Anteil parallel zur Schnittfläche. Abhängig vom Winkel , unter dem geschnitten wird, lassen sich Paare berechnen und in ein Diagramm als Punkte einzeichnen. Die Menge aller Punkte ist der Mohrsche Kreis. An ihm lassen sich z. B. die Hauptspannungen, die Hauptspannungsrichtungen oder die größte Schubspannung ablesen. Dadurch gewinnt man eine anschauliche Vorstellung von der Beanspruchung des Teilchens. Da es Versagenskriterien gibt, bei denen Hauptspannungen oder die größte Schubspannung relevant sind, kann der Mohrsche Kreis in 2D für die Auswertung dieser Kriterien verwendet werden.

Der Mohrsche Kreis kann auch zur Umrechnung der Komponenten des Spannungstensors verwendet werden: Sind die Spannungstensor-Komponenten bezogen auf ein kartesisches (x,y)-Koordinatensystem gegeben, dann lassen sich mit dem Mohrschen Kreis die Spannungstensor-Komponenten bezogen auf ein kartesisches (n,m)-Koordinatensystem grafisch bestimmen. Vorausgesetzt ist hierbei, dass das (n,m)-Koordinatensystem durch eine Drehung um den Winkel aus dem (x,y)-Koordinatensystem hervorgeht.

Neben dem Cauchy-Spannungstensor können auch andere symmetrische Tensoren mit dem Mohrschen Kreis veranschaulicht oder untersucht werden, z. B. der Verzerrungstensor. Und neben dem Mohrschen Kreis gibt es auch andere Verfahren zur Veranschaulichung symmetrischer Tensoren, z. B. Superquadriken oder Ellipsoide.

Um diesen Artikel vollständig verstehen zu können, benötigt man Kenntnisse in Trigonometrie, Technischer Mechanik, Linearer Algebra, Matrizenrechnung und Vektorrechnung. Einheiten werden in diesem Artikel nicht verwendet.

Schnittspannungsvektor[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(x,y)-Komponenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bild 2: Teilchen mit Spannung , Normalenvektor n, Schnittspannungsvektor t.

Der Spannungszustand an einem Teilchen ist festgelegt durch den symmetrischen Cauchy-Spannungstensor , welcher meist als (2,0)-Tensor definiert wird. An diesem Teilchen und durch seine unmittelbare Umgebung lässt sich ein Freischnitt führen in beliebiger Richtung. An der entstandenen Schnittfläche lässt sich der Schnittspannungsvektor t (traction vector) berechnen. Der Zusammenhang zwischen dem Spannungstensor und dem Schnittspannungsvektor t ist:

wobei n ein Normalen-Einheitsvektor ist, der senkrecht auf der Schnittfläche steht und „nach außen“ zeigt. Die Komponenten des Spannungsvektors t bezogen auf das kartesische (x,y)-Koordinatensystem werden aus den Komponenten des Spannungstensors und denen des Normalenvektors mittels Matrixmultiplikation bzw. nach der Summenkonvention berechnet als:

Wenn an einem Schnittufer n der Normalen-Einheitsvektor ist, ist am gegenüber liegenden Schnittufer -n der Normalen-Einheitsvektor. Damit ist das Reaktionsprinzip mit der Definition des Spannungstensors von vornherein erfüllt, denn:

Bild 3: Schnitte parallel zu Koordinatenflächen für

Die Komponenten von t bezogen auf das (x,y)-Koordinatensystem lassen sich für jede beliebige Schnittrichtung berechnen. Besonders einfach ist die Berechnung für Schnitte parallel zu den Koordinatenflächen. Die 4 möglichen Schnitte parallel zu x=const oder y=const sind im Bild 3 dargestellt. Hierbei sind positive Schnittufer grün und negative rot. Aus der Zeichnung liest man folgenden Zusammenhang zwischen den Komponenten des Schnittspannungsvektors und den Komponenten des Spannungstensors ab:

Schnitt Normale
x=const
y=const
x=const
y=const

Die (x,y)-Komponenten des Schnittspannungsvektors lassen sich für diese 4 Schnittrichtungen also sehr leicht aus den (x,y)-Komponenten des Spannungstensors bestimmen. Bei x=const am positiven Schnittufer (Bild 3 rechts, Normalenvektor zeigt nach rechts) gilt – wie man auch aus der letzten Tabelle abliest:

Bei y=const am positiven Schnittufer (Bild 3 oben, Normalenvektor zeigt nach oben) gilt:

Am negativen Schnittufer bei x=const (links) gilt:

Und am negativen Schnittufer bei y=const (unten) gilt:

Die Komponenten des Spannungstensors lassen sich durch den eben dargestellten Zusammenhang zum Schnittspannungsvektor anschaulich als Kräfte pro Fläche interpretieren. Und der Mohrsche Kreis beschreibt, wie diese Kräfte von der Schnittrichtung abhängen.

(n,m)-Komponenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bild 4: Parametrisierung: Zusammenhang zwischen und abhängig von
Bild 5: Zählrichtung für Schnittwinkel sowie für 12 Schnittwinkel. Beispiel:

Im Abschnitt #(x,y)-Komponenten wurden die Komponenten von t bezogen auf das blaue (x,y)-Koordinatensystem angegeben. Jetzt werden die Komponenten von t bezogen auf ein von der Schnittrichtung abhängiges (n,m)-Koordinatensystem angegeben. Der Normalen-Einheitsvektor n, der die Schnittrichtung angibt, sei um den Winkel gegenüber der x-Achse gedreht. Mit den Abkürzungen:

lassen sich die (x,y)-Komponenten der um gedrehten n und m ausrechnen mit einer Drehmatrix gemäß:

Die Anteile von t in Richtung n bzw. m seien definiert als:

Durch Einsetzen und mit Hilfe einfacher Umformungen

Umformungen

erhält man (siehe hierzu auch Bild 4):

Auf diesen beiden Gleichungen basiert die Konstruktion des Mohrschen Kreises. Für das Beispiel:

sind diese Formeln im Bild 5 für 12 verschiedene Winkel ausgewertet.

Bild 5 zeigt nicht den Mohrschen Kreis. Sondern Bild 5 veranschaulicht die Formeln für und . Man sieht an jedem Schnitt den dort wirkenden Schnittspannungsvektor (blau) und seine (n,m)-Komponenten - also seine Komponenten in Bezug auf das (n,m)-Koordinatensystem, welches den jeweiligen Schnitt kennzeichnet (rosa).

Den Mohrschen Kreis erhält man, indem man über aufträgt – indem man also ein Diagramm zeichnet, worin die Paare als Punkte dargestellt sind. Dies wird im folgenden Abschnitt getan.

Für Schnitte parallel zu den Koordinatenflächen ist:

Schnitt Normale
x=const
y=const
x=const
y=const

Kreisgleichung und Hauptspannungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreisgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bild 6: Innen: Zählrichtung für im Mohrschen Kreis (im Uhrzeigersinn) sowie Punkte für etc. . Außen: Zählrichtung für (entgegen Uhrzeigersinn) sowie Schnitte für etc., vgl. Bild 5

Aus den Gleichungen für und wird die Kreisgleichung des Mohrschen Kreises abgeleitet. Quadrieren beider Gleichungen liefert zunächst:

Und durch Addieren dieser Gleichungen erhält man die Gleichung eines Kreises mit Radius R und Mittelpunkt bei (a,b), nämlich:

Der Mittelpunkt des Mohrschen Kreises liegt bei:

Für das Beispiel ergibt sich (vgl. Bild 6):

Und der Radius beträgt:

Für das Beispiel ergibt sich (vgl. Bild 6):

Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bild 7: Freischnitte entlang der Hauptspannungsrichtungen und (n,m)-Komponenten von t für

Die Hauptspannungen sind die Eigenwerte (der Komponenten-Matrix) des Spannungstensors. Die charakteristische Gleichung zur Berechnung der Eigenwerte ist:

Einfache Umformungen

Umformungen

führen auf:

so dass man die Hauptspannungen als Schnittpunkte des Kreises mit der -Achse abliest. Für das konkrete Beispiel ergeben sich die Hauptspannungen:

Es gibt verschiedene Methoden, um die Hauptspannungsrichtungen zu bestimmen.

Berechnung aus Kreisgleichung

Im Spezialfall ist t parallel zum Normalenvektor n.

Aus der Kreisgleichung folgt dann:

Und für das Beispiel ergeben sich die positiven Schnittwinkel:

Berechnung aus Eigenvektoren

Die Richtungen lassen sich alternativ mit den Eigenvektoren bestimmen. Der zu gehörende Eigenvektor ist Lösung von:

Die Hauptspannungsrichtung für ergibt sich entsprechend zu:

Nun liegen die (x,y)-Komponenten beider Eigenvektoren fest. Der Winkel zwischen x-Achse und erstem Eigenvektor ist damit:

Die zweite Eigenrichtung ist um 90 Grad gegenüber der ersten gedreht, so dass:

Mohrscher Kreis: Konstruktion und Auswertung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bild 8: Mohrscher Kreis, Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen für Beispiel

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Konstruktion des Mohrschen Kreises geschieht wie in Bild 8 dargestellt nach folgendem Schema:

  1. Zeichnen eines kart. Koordinatensystems für Punkte .
  2. Eintragen der zwei Punkte:
    • .
    Verbinden dieser zwei Punkte durch eine Gerade (strich-punktierte Linie).
  3. Zeichnen des Kreises, der die Punkte und beinhaltet und dessen Mittelpunkt der Schnittpunkt der strichpunktierten Linie mit der -Achse ist.
  4. Eintragen/Ablesen der zwei Punkte:
    Verbinden dieser zwei Punkte mit (magenta-farbene gestrichelte Linien).
  5. Eintragen/Ablesen der zwei Punkte:
    Verbinden dieser zwei Punkte mit (türkis-farbene gestrichelte Linien).

Auswertung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. Schnittrichtung / Schnittspannung
Jeder Punkt auf dem Mohrschen Kreis in Bild 8 entspricht einem Schnittwinkel , siehe auch Bild 4 und Bild 5. ist einerseits der Winkel zwischen der x-Achse und dem dem Normaleneinheitsvektor n - ausgehend von x entgegen dem Uhrzeigersinn positiv gezählt (in Bild 4 und Bild 5). Andererseits ist im Mohrschen Kreis bzw. Bild 8 der Winkel zwischen und dem zur jeweiligen Schnittrichtung passenden Punkt - von ausgehend im Uhrzeigersinn positiv gezählt.
Für jeden vorgegebenen Schnittwinkel liest man im Mohrschen Kreis die (n,m)-Komponenten des zu dieser Schnittrichtung passenden Schnittspannungsvektors ab. Diese Komponenten sind das Paar , welches abzulesen ist an der Stelle .
2. Hauptspannungen
An den Schnittpunkten des Kreises mit der -Achse sind die (n,m)-Komponenten der Spannungsvektoren bzw. . Der Schnittspannungsvektor t ist an diesen Schnittpunkten also parallel zu n, und darum sind bzw. die Hauptspannungen.
3. Hauptspannungsrichtungen
Die zwei zugehörigen Hauptspannungsrichtungen stehen senkrecht aufeinander. Darum reicht es aus, die zu gehörende Richtung abzulesen. Diese ist gegeben durch den Schnittwinkel , d. h. die Hälfte des Winkels bzw. die magenta-farbene gestrichelte Linie zwischen und . Diese Linie/Richtung ist die Hauptspannungsrichtung. Die Richtung, unter der der Freischnitt ausgeführt wird, steht senkrecht dazu. Sie ist durch die magenta-farbene gestrichelte Linie zwischen und gegeben.
4. Extremwerte der Schubspannung
Der Radius des Kreises ist die größte auftretende Schubspannung, d. h.
Die zugehörigen Schnittwinkel sind um versetzt zu den Schnittwinkeln, unter denen die Hauptspannungen auftreten (siehe türkis-farbene gestrichelte Linien in Bild 8).

Spezialfall: Wenn der Deviator-Anteil des Spannungstensors Null ist - d. h. wenn der Spannungstensor ein Kugeltensor ist - entartet der Kreis zu einem Punkt. Für die Komponenten des Spannungstensors gilt dann in jedem Koordinatensystem:

Verwandte Themen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tensorkomponenten aus zwei Schnitten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bild 9: Spannungstensor-Komponenten bezogen auf das (x,y)-Koordinatensystem; Spannungstensor-Komponenten bezogen auf das um gedrehte (n,m)-Koordinatensystem für Beispiel

Sei genau ein (n,m)-Koordinatensystem definiert, welches um einen Winkel gegenüber dem (x,y)-Koordinatensystem gedreht, siehe Bild 9. Seien weiterhin die Komponenten des Spannungstensors bezogen auf dieses eine (n,m)-Koordinatensystem . Wie im Abschnitt #(x,y)-Komponenten gezeigt, lassen sich die Komponenten des Schnittspannungsvektors in Bezug auf dieses eine Koordinatensystem direkt angeben, wenn man parallel zu den Basisvektoren des Koordinatensystems schneidet.

Für einen Schnitt senkrecht zu n am positiven Schnittufer gilt:

Und für einen Schnitt senkrecht zu m am positiven Schnittufer:

Kennt man , dann kennt man damit auch die Komponenten des Spannungstensors bezogen auf das eine (n,m)-Koordinatensystem, nämlich und . Der Zusammenhang zu den oben verwendeten Symbolen und ist:

Einsetzen liefert:

Die letzten Formeln ermöglichen es, die Komponenten des Spannungstensors in Bezug auf ein um einen Winkel gedrehtes Koordinatensystem zu berechnen. Die Funktionen und , die dazu verwendet werden, sind dieselben wie die zur Konstruktion des Mohrschen Kreises. Und darum kann man die Komponenten des Spannungstensors in Bezug auf ein gedrehtes Koordinatensystem auch aus dem Mohrschen Kreis ablesen, siehe hierzu Bild 9.

Tensorkomponenten aus Transformationsbeziehung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese (n,m)-Komponenten des Spannungstensors lassen sich auch direkt aus den (x,y)-Komponenten des Spannungstensors berechnen. Denn der Koordinatenwechsel von (x,y) auf (n,m) erzeugt folgende Transformationsbeziehung (auch Pushforward genannt) für die Komponenten des (2,0)-Spannungstensors:

wobei als Abkürzungen verwendet wurden:

Vergleich mit den Gleichungen für und aus Abschnitt #(n,m)-Komponenten liefert:

Dieses Ergebnis ist äquivalent zum Ergebnis aus dem letzten Abschnitt, siehe hierzu auch Bild 9.

Häufig wird dieses Ergebnis auch geschrieben als:

Umrechnung Flächenträgheitsmomente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bild 10: Mohrscher Trägheitskreis, Hauptträgheitsmomente für Beispiel

Die Transformationsregel für Flächenträgheitsmomente kann genau wie die Transformationsregel für die Komponenten des Spannungstensors bestimmt werden. Der Spannungstensor ist eine lineare Abbildung zwischen Vektoren gemäß:

Damit diese Abbildungen unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems gelten, müssen die Komponenten des Spannungstensors folgenden Transformationsregeln erfüllen:

Völlig analog gilt bei einem Profilstab zwischen Biegemomenten und Verkrümmungen (bezogen auf die Neutralachse) mit den Flächenträgheitsmomenten definiert als

der lineare Zusammenhang[1]:

Die Momente und die Verkrümmungen tansformieren sich wie Pseudovektoren - also bei Drehung des Koordinatensystems wie Vektoren. Und darum ist die Transformationsregel für die Flächenträgheitsmomente:

Der Mohrsche Kreis kann also zur Umrechnung der Flächenträgheitsmomente bei Koordinatenwechsel ebenso verwendet werden wie zur Umrechnung der Komponenten des Spannungstensors.

Multilineare Abbildung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Spannungstensor ist eine Multilineare Abbildung derart, dass man definieren kann:

Dies ist äquivalent zu den Definitionen weiter oben für und .

und sind physikalische Größen (Kraft pro Fläche in einer bestimmten Richtung). Und diese Größen müssen, weil sie Skalare sind, unabhängig vom gewählten Koordinatensystem sein (Invarianz ggü. Koordinatenwechsel). Für Vektoren und Tensoren gilt entsprechend, dass sie sich unter Koordinatenwechsel auf eine ganz bestimmte Art transformieren. So gilt z. B. für den (2,0)-Spannungstensor bei einer Drehung des Koordinatensystems das Transformationsgesetz aus #Tensorkomponenten aus Transformationsbeziehung.

Für die Skalare und muss in jedem Koordinatensystem gelten:

Berechnet man mit dieser Formel einerseits im (x,y)-Koordinatensystem und andererseits in einem beliebigen (n,m)-Koordinatensystem, so sieht man:

wobei links die Berechnung im (x,y)-Koordinatensystem geschieht und rechts im (n,m)-Koordinatensystem.

Berechnet man entsprechend, so sieht man:

Aus der Definition des Spannungstensors als Multilineare Abbildung und aus der Definition von und wie gezeigt, erkennt man den Zusammenhang zwischen den Komponenten des Spannungstensors und den Komponenten des Schnittspannungsvektors, nämlich und , als

Das bedeutet in Worten, dass die Normal-Komponente des Spannungstensors dem Normal-Anteil des Schnittspannungsvektors gleicht. Und dass die Schub-Komponente des Spannungstensors dem Schub-Anteil des Schnittspannungsvektors gleicht -- wenn die Komponenten des Spannungstensors auf das (n,m)-Koordinatensystem bezogen sind. Weiterhin erkennt man, dass die Forderung nach Invarianz gegenüber Koordinatenwechsel bei Skalaren äquivalent ist zum Transformationsgesetz für den Spannungstensor aus #Tensorkomponenten aus Transformationsbeziehung -- wenn der Koordinatenwechsel einer ebenen Drehung entspricht.

Programm zum Ausprobieren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bild 10: Plot einiger Paare , erzeugt mit nebenstehendem Programm

mit Matplotlib und NumPy

import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import pi, sin, cos, array, transpose, dot
from numpy import radians, degrees, set_printoptions


#         [s_xx  t_xy ]     [-1  4 ]
#  S_xy = [           ]  =  [      ]
#         [t_xy  s_yy ]     [ 4  5 ]

# ---
# --- User input:
# ---

# 1: Stress tensor components:
(s_xx, s_yy, t_xy)  = (-1, 5, 4)

# 2: List of angles theta in degrees:
th_deg = array( [0., 30., 60., 90., 120., 150.] )


# ---
# --- Program output:
# ---

# theta   [ t_n, t_m ]

# 0.0     [-1.  4.]
# 30.0    [ 3.96  4.6 ]
# 60.0    [ 6.96  0.6 ]
# ...

# theta   [ s_nn, t_nm ]
#         [ t_nm, s_mm ]

# 0.0     [-1.  4.]
#         [ 4.  5.]
# 30.0    [ 3.96  4.6 ]
#         [ 4.6   0.04]
# 60.0    [ 6.96  0.6 ]
#         [ 0.6  -2.96]
# ...


# ---
# --- Program:
# ---

# Matrix of components::
S_xy = array([ [ s_xx,  t_xy],
               [ t_xy,  s_yy] ])

# Yes
half = 0.5
two  = 2.0

# Some functions for later use:
def c2(th):
    """ computes cos(2 theta) """
    return cos(two*th)

def s2(th):
    """ computes sin(2 theta) """
    return sin(two*th)

def get_t_n(th):
    """
    computes t_n(theta) as in section
    "(n,m)-Komponenten"
    """
    t_n = half*(s_xx + s_yy) + half*(s_xx - s_yy) * c2(th) + t_xy*s2(th)
    return t_n

def get_t_m(th):
    """
    computes t_m(theta) as in section
    "(n,m)-Komponenten"
    """
    t_m = - half*(s_xx - s_yy) * s2(th) + t_xy * c2(th)
    return t_m

def get_t_nm(th):
    """
    computes pair (t_n, t_m)
    """
    t_n = get_t_n(th)
    t_m = get_t_m(th)
    return array([t_n, t_m])

def get_R(th):
    """
    computes rotation matrix as in section
    "Tensorkomponenten aus Transformationsbeziehung"
    """
    Rt = array([ [ cos(th),  sin(th)],
                 [-sin(th),  cos(th)] ] )
    return Rt

def get_S_nm(th):
    """
    computes S_nm = R * S_xy * R^T as in section
    "Tensorkomponenten aus Transformationsbeziehung"
    """
    R = get_R(th)
    R_T = R.transpose()
    S_nm = dot( dot(R, S_xy), R_T )
    return S_nm


# Compute and plot some pairs (t_n, t_m):

# theta in radians:
thetas = array( [ radians(a) for a in th_deg ] )

# for prettier printing:
set_printoptions(precision=2)

print ()
print ("theta   [ t_n, t_m ]")
print ()
for th in thetas:
    tn_tm = get_t_nm(th)
    print (degrees(th),"  ", tn_tm)

print ()
print ("theta   [ s_nn, t_nm ]")
print ("        [ t_nm, s_mm ]")
print ()
for th in thetas:
    S_nm = get_S_nm(th)
    print (degrees(th), "  ", S_nm[0])
    print ("       ",         S_nm[1])


# Now plot these pairs (t_n, t_m):

# theta --> t_n(theta):
t_n = list(map(get_t_n, thetas))
# theta --> t_m(theta):
t_m = list(map(get_t_m, thetas))

# color = theta in degrees:
color = degrees(thetas)

# make the circle be a circle:
plt.axis("equal")

# plot some colored points:
plt.scatter(t_n, t_m, s=100, c=color)

# add colorbar:
cbar = plt.colorbar()

# plt.clim(0,180.)
# add ticks to colorbar:
cbar.set_ticks(degrees(thetas))

# show plot:
plt.show()

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Johannes Wiedemann: Leichtbau, Bd. 1: Elemente

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Mohr's circle – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien