Moivrescher Satz

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Der Moivresche Satz, auch Satz von de Moivre oder Formel von de Moivre genannt, besagt, dass für jede komplexe Zahl (und damit auch jede reelle Zahl) x und jede natürliche Zahl n der Zusammenhang

gilt.[1]

Er trägt seinen Namen zu Ehren von Abraham de Moivre[2], der diesen Satz im ersten Jahrzehnt des 18. Jahrhunderts fand.[3]

Die Formel verbindet die komplexen Zahlen mit der Trigonometrie, sodass die komplexen Zahlen trigonometrisch dargestellt werden können. Der Ausdruck kann auch verkürzt als dargestellt werden.

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Moivresche Satz kann von der Eulerformel

der komplexen Exponentialfunktion und ihrer Funktionalgleichung

abgeleitet werden.

Ein alternativer Beweis ergibt sich aus der Produktdarstellung (siehe Additionstheoreme)

per vollständiger Induktion.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn

dann ist

eine mehrwertige Funktion aber nicht

.

Dadurch gilt

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Anton von Braunmühl: Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie. Geschichte der Trigonometrie. Enthält: Teil 1 - Von den ältesten Zeiten bis zur Erfindung der Logarithmen, Teil 2 Von der Erfindung der Logarithmen bis auf die Gegenwart. Reprografischer Nachdruck der 1. Auflage. M. Sändig, Niederwalluf bei Wiesbaden 1971, ISBN 3-500-23250-7 (Erstauflage bei Teubner, Leipzig, 1900 - 1903).
  • Hans Kerner, Wolf von Wahl: Mathematik für Physiker. 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2007, ISBN 978-3-540-72479-7.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Kerner und Wahl (2007), S. 70
  2. Braunmühl (1971), Teil 2 S. 75
  3. Braunmühl (1971), Teil 2 S. 78