Multilinearform

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Eine -Multilinearform ist in der Mathematik eine Funktion, die Argumenten aus -Vektorräumen einen Wert zuordnet und in jeder Komponente linear ist. Im allgemeineren Fall, dass der Bildraum selbst ein Vektorraum ist, oder Bild- und Zielräume Moduln sind, spricht man von einer multilinearen Abbildung.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Abbildung

heißt Multilinearform, wenn für alle und alle folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

Für alle gilt

und für alle

.

Die Menge aller multilinearen Abbildungen bildet einen -Vektorraum. Im Fall schreibt man .

Alternierende Multilinearformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Multilinearform heißt alternierend, falls sie null ergibt, wenn zweimal derselbe Vektor eingesetzt wird, d.h.

für alle .[1]

In diesem Fall folgt auch, dass die Form schiefsymmetrisch ist, das heißt, dass sie bei Vertauschung von zwei beliebigen Argumenten ihr Vorzeichen wechselt, also

für alle und . Die umgekehrte Implikation – dass alle schiefsymmetrischen Multilinearformen alternierend sind – gilt aber nur, wenn die Charakteristik von nicht 2 ist, also zum Beispiel für .[1]

Ist allgemeiner eine beliebige Permutation der Indizes, dann gilt

,

wobei das Signum der Permutation bezeichnet.

Die Menge aller alternierenden Multilinearformen ist ein Untervektorraum von . Außerdem lässt sich auf dieser Menge die Struktur einer Algebra definieren. Diese Algebra heißt Graßmann-Algebra. Wichtig ist der Spezialfall . Dann ist ein eindimensionaler Unterraum von , und seine Elemente heißen Determinantenfunktionen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Linearformen sind genau die 1-Multilinearformen.
  2. Bilinearformen sind genau die 2-Multilinearformen. Antisymmetrische Bilinearformen sind alternierende Multilinearformen (wenn die Charakteristik von nicht 2 ist).
  3. Bildet man aus Vektoren durch Zusammenfassen eine quadratische Matrix, so ist die Determinante dieser Matrix eine alternierende, normierte Multilinearform. Im dreidimensionalen Fall ist also definiert durch

    eine alternierende 3-Multilinearform. Dabei sind die Vektoren folgendermaßen in Koordinaten dargestellt:
    .
  4. Kovariante Tensoren sind Multilinearformen: In dem Fall, dass alle Vektorräume identisch sind (also ), ist die -Multilinearform auch ein kovarianter Tensor -ter Stufe. Im selben Fall sind die alternierenden -Multilinearformen auch total antisymmetrische Tensoren -ter Stufe.
  5. Eine Differentialform ordnet einem Punkt einer Mannigfaltigkeit eine alternierende Multilinearform auf dem zugehörigen Tangentialraum zu.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Arkady L'vovich Onishchik: Multilinear mapping. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]