Multinomialtheorem

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In der Mathematik stellt das Multinomialtheorem (auch Multinomialformel oder Multinomialsatz) oder Polynomialtheorem eine Verallgemeinerung der Binomischen Formel auf die Summe beliebig vieler Koeffizienten dar, indem es die Binomialkoeffizienten als Multinomialkoeffizienten verallgemeinert.

Formel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Multinomialkoeffizient ist für nichtnegative ganze Zahlen und definiert als

Der Multinomialsatz lautet dann

Eine kürzere Formulierung erlaubt die Multiindexnotation mit Multiindex :

Dabei identifiziert man mit dem Vektor .

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Korollar aus dem Multinomialtheorem gewinnt man beispielsweise für Multiindizes die Abschätzung

Beweisskizze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Multinomialtheorem lässt sich wahlweise mit Hilfe einer mehrdimensionalen Taylorentwicklung erster Ordnung oder per Induktion über unter Zuhilfenahme der Binomischen Formel beweisen.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]