Neunerlemma

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Das Neunerlemma, wegen der Struktur des unten abgebildeten Diagramms auch 3x3-Lemma genannt, ist eine mathematische Aussage über kommutierende Diagramme und exakte Folgen, die sowohl für jede abelsche Kategorie als auch für die Kategorie der Gruppen gültig ist.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist (in einer abelschen Kategorie oder der Kategorie der Gruppen) das Diagramm

Nine lemma.png

kommutativ und sind alle Spalten sowie die unteren beiden Zeilen exakt, so ist auch die obere Zeile exakt. Ebenso gilt: Sind alle Spalten sowie die oberen beiden Zeilen exakt, so ist auch die untere Zeile exakt.[1]

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Beweis erfolgt durch Diagrammjagd, zunächst unter der Annahme, dass das Diagramm die Kategorie der Gruppen betrifft. Der Einfachheit halber seien alle horizontalen Abbildungen mit h, alle vertikalen mit v bezeichnet. Das neutrale Element der Gruppen heiße jeweils . Der Beweis zeigt die typische Eigenschaft von Diagrammjagden, dass der schriftliche Beweis zwar aus lauter trivialen Einzelschritten besteht, die zusammen jedoch verwirrend oder unmotiviert wirken - erst wenn man die Schritte am Diagramm nachverfolgt, werden die Zusammenhänge einleuchtend.

Seien zunächst alle Spalten sowie die unteren beiden Zeilen exakt.

  • Ist mit , so . Hieraus folgt mit der Injektivität von auch und mit der von schließlich .
  • Ist , so ist , also .
  • Ist mit , so , also für ein . Aus folgt auch , also für ein . Dann ist , woraus bereits folgt.
  • Ist , so gibt es ein mit . Wegen gibt es ein mit . Weiter gibt es ein mit , also . Somit unterscheiden sich und um für ein geeignetes , d. h. es gilt . Dann ist und schließlich auch .

Alle Punkte zusammen zeigen die Exaktheit der ersten Zeile.

Seien jetzt alle Spalten sowie die oberen beiden Zeilen exakt.

  • Ist , so für ein und dann für ein , jeweils per Surjektivität von bzw. . Dann ist .
  • Ist , so für ein . Dann .
  • Ist mit und wählen wir ein mit , so , also für ein . Weiter für ein . Dann ist , also für ein . Schließlich ist .
  • Ist mit und wählen wir mit , so , also für ein . Es ist , daher bereits . Folglich für ein . Aus folgt bereits und somit .

Zusammen ergibt dies wiederum die Exaktheit der letzten Zeile.

Der zunächst für Gruppen durchgeführte Beweis gilt (ggf. in additive Schreibweise übersetzt) ebenso für abelsche Gruppen oder auch für Moduln über einem Ring. Durch den Einbettungssatz von Mitchell ist dies aber bereits ausreichend, um das Neunerlemma für alle abelschen Kategorien zu beweisen.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 (1967), Kapitel II, Lemma 5.1 (The 3x3-Lemma)