Newtonsches Kugelschalentheorem

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Die äquivalenten Anziehungskräfte zweier Massen

Das Newtonsche Kugelschalentheorem, manchmal auch Newtonsches Schalentheorem (benannt nach Sir Isaac Newton), ist eine Folgerung des Newtonschen Gravitationsgesetzes. Das Theorem wurde bereits in Newtons Philosophiae Naturalis Principia Mathematica bewiesen. Eine allgemein relativistische Verallgemeinerung ist das sogenannte Birkhoff-Theorem.

Aussage und Problemstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Newtonsche Gravitationsgesetz betrachtet zwei Massen in einem Abstand voneinander. Bei zwei ausgedehnten Körpern müsste die Massenanziehung aller Volumenelemente aufaddiert werden, um die resultierende gravitative Anziehung zu berechnen. Für Kugeln und Kugelschalen mit radialsymmetrischer Massendichte (die Dichte der Kugel oder der Kugelschale darf nur vom Abstand zum Zentrum abhängen, ist also für gegebenen Abstand konstant) lässt sich das Problem gemäß dem Newtonschen Kugelschalentheorem wie folgt vereinfachen:

  • Befindet sich ein Körper der Masse außerhalb einer radialsymmetrischen Kugel oder Kugelschale mit Masse , so verspürt er dieselbe gravitative Anziehung, als sei die gesamte Masse im Zentrum der Kugel oder der Kugelschale in einem Punkt zentriert.
    • Dieser Teil des Theorems ermöglicht es, radialsymmetrische Körper als Punktmassen zu betrachten. Damit vereinfachen sich viele Probleme der Newtonschen Mechanik. In, für viele Problemstellungen hinreichend guter, Approximation kann dies für Planeten, Sterne und Monde angewandt werden.
  • Befindet sich ein Körper der Masse innerhalb einer radialsymmetrischen Kugelschale mit Masse , so verspürt er keine von der Kugelschale selber ausgehende gravitative Wirkung.
    • Innerhalb der Kugelschale ist der Körper allerdings nicht frei von jeder gravitativen Wirkung, da sich die Gravitationskraft nach Newton nicht abschirmen lässt. Es handelt sich im Inneren der Kugelschale also nicht um einen gravitativen Faradayschen Käfig. Gravitative Kräfte von außerhalb der Kugelschale wirken auf den Körper in der Kugelschale weiterhin.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mithilfe des Satzes von Gauß[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mithilfe des Satzes von Gauß ist das Schalentheorem einfach herleitbar. Das Gravitationspotential einer beliebigen Massenverteilung folgt der Poisson-Gleichung

mit dem Laplace-Operator und dem Nabla-Operator . Die Kraft auf eine beliebige Testmasse ist der negative Gradient des Potentials multipliziert mit der Masse, also

.

Es folgt daher

und mit dem Satz von Gauß

.

Die Masseverteilung muss für die Gültigkeit des Schalentheorems radialsymmetrisch sein; es gilt also , wobei der Abstand zum Zentrum ist. Daher bietet sich als Integrationsgebiet eine Kugel um das Zentrum der Masseverteilung an. Aus Symmetriegründen kann die Kraft nur vom Zentrum weg oder zum Zentrum hin zeigen und ihr Betrag kann ebenfalls nur vom Abstand zum Zentrum abhängen. Es gilt in Kugelkoordinaten also mit dem radialen Einheitsvektor . Dann wird die Integration über den Raumwinkel trivial und es bleibt eine Integration über den Abstand übrig,

.

Nimmt man nun eine infinitesimal dünne Kugelschale mit Masse und Radius , so ist ihre Massendichte mit der Delta-Distribution . In die obige Formel eingesetzt folgt daraus:

.

Für Abstände, die kleiner als der Radius der Kugelschale sind, wirkt daher keine Kraft, für Abstände, die größer sind, wirkt die Kraft

.

Dies ist von Betrag und Richtung identisch zu einer Kraft, die zwischen zwei Punktmassen mit Abstand wirken würde. Aufgrund des Superpositionsprinzips gilt dies für beliebige radialsymmetrische Masseverteilungen; anschaulich gesprochen kann man beliebig viele solcher Kugelschalen ineinander stapeln.

Direkter Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Skizze zum Beweis. Der Koordinatenursprung liegt auf dem Mittelpunkt der Kugel; die -Achse zeigt nach rechts, die -Achse nach oben und die -Achse aus der Bildebene hinaus. ist der Zenitwinkel, nicht eingezeichnet ist die Zerlegung der Kugelscheibe der Höhe in Flächenelemente der Breite . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit liege die Testmasse direkt auf der -Achse.

Für den direkten Beweis des Schalentheorems nutzt man eine Zerlegung der Hohlkugel mit Radius in infinitesimal kleine Flächenelemente, deren Lage durch den Zenitwinkel und den Azimutalwinkel beschrieben werden. Die Masse eines jeden solchen Flächenelements ist , seine Oberfläche beträgt . Da die Kugelschale homogen ist, gilt

als Quotient des Flächenelements und der gesamten Oberfläche der Kugel.

Die Kraft, die jedes Flächenelement auf die Testmasse ausübt, ist also

.

Entsprechend ergibt sich die gesamte Kraft, die die Hohlkugel auf die Testmasse ausübt, durch Integration, wobei die Integration über den Azimutalwinkel trivial ist,

.

Dass die Kraft nur in Richtung der Kugelmitte zeigt, ergibt sich ebenfalls aus der Azimutalsymmetrie des Problems. Zur Vereinfachung der Notation wird im Folgenden nur diese Komponente betrachtet. Der Winkel hängt über den Sinussatz

mit dem Winkel zusammen, der Abstand über den Cosinussatz

und das Integral kann mittels

umgeformt werden. Insgesamt ergibt sich daher mit der Vorzeichenfunktion für den Betrag der Kraft der Ausdruck

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das hier beschriebene Theorem lässt sich auch auf Vollkugeln erweitern. Eine allgemein relativistische Verallgemeinerung des Theorems bildet das Birkhoff-Theorem.