Norm (Körpererweiterung)

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In der Körpertheorie ist die Norm einer Körpererweiterung eine spezielle, der Erweiterung zugeordnete Abbildung. Sie bildet jedes Element des größeren Körpers auf den kleineren Körper ab.

Dieser Normbegriff unterscheidet sich wesentlich vom Begriff der Norm eines normierten Vektorraums, er wird daher manchmal im Gegensatz zur Vektornorm auch Körpernorm genannt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Ein fest gewähltes Element definiert eine -lineare Abbildung

Ihre Determinante heißt die Norm von , geschrieben . Sie ist ein Element von ; die Norm ist also eine Abbildung

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Genau für gilt .
  • Die Norm ist multiplikativ, d.h.
für alle .
Eingeschränkt auf die multiplikativen Gruppen ist die Norm also ein Homomorphismus
  • Ist eine weitere endliche Körpererweiterung, dann hat man die drei Normfunktionen und , die in der folgenden, als Transitivität der Norm bezeichneten, Beziehung stehen:
für alle .
  • Ist , so gilt .
  • Ist mit dem Minimalpolynom vom Grad , das Absolutglied von und , dann gilt:
  • Ist eine endliche Körpererweiterung mit , wobei die Anzahl der Elemente in , der Menge aller -Homomorphismen von in den algebraischen Abschluss von , sei. Dann gilt[1] für jedes Element
Ist insbesondere galoissch mit Galoisgruppe , so bedeutet dies

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

.
  • Die Norm von ist die Abbildung
für .
  • Die Norm von ist die Abbildung
.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Bosch, Algebra 5. Auflage, 2004, S.196ff