Normaler Raum

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Hinweis: Es gibt in der Standardliteratur keine einheitliche Auffassung hinsichtlich der Begriffe normaler Raum und T4-Raum; vielmehr herrscht Uneinheitlichkeit.[1][2] In diesem Artikel gilt die Auffassung, dass ein T4-Raum ein normaler Hausdorff-Raum ist, während ein normaler Raum nicht notwendig hausdorffsch zu sein hat.

Graphische Darstellung eines normalen Raumes

Ein normaler Raum ist ein topologischer Raum, in dem zwei beliebige disjunkte abgeschlossene Mengen disjunkte Umgebungen haben. Kürzer: Abgeschlossene Mengen E, F werden durch Umgebungen U, V getrennt.

Diese Eigenschaft ist zum Beispiel Grundlage des Lemmas von Urysohn oder des Fortsetzungssatzes von Tietze. Der Begriff geht zurück auf Heinrich Tietze 1923,[3] seine ganze Tragweite wurde von Urysohn bei seinen Arbeiten über die Fortsetzung von Funktionen erkannt.[4]

Normalität vererbt sich nicht notwendig auf alle Teilräume.

Formale Definition des normalen Raumes und des T4-Raumes (normaler Hausdorff-Raum)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu beachten ist, dass die Definition in der Literatur uneinheitlich ist, hier wird für einen normalen Raum nicht die Eigenschaft hausdorffsch gefordert, für einen T4-Raum jedoch schon.

Sei ein topologischer Raum. heißt normal, falls es zu je zwei abgeschlossenen Teilmengen , mit Umgebungen , sowie von E und F gibt mit .

Ein normaler Raum, der zusätzlich die Trennungseigenschaft T2 erfüllt, also ein normaler Hausdorff-Raum ist, wird als T4-Raum bezeichnet.

Viele Autoren verwenden die Begriffe anders: Sie setzen für einen normalen Raum automatisch hausdorffsch voraus (d. h. T2-Raum) und verstehen unter T4-Räumen die in diesem Artikel unter "normal" beschriebene Raumklasse, es entfällt also die Forderung, dass T4-Räume hausdorffsch sind. Die meisten in den Anwendungen auftretenden normalen Räume sind T2-Räume.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vererbungseigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ein abgeschlossener Unterraum eines normalen Raumes ist wieder ein normaler Raum. Allgemeiner gilt dies sogar noch, wenn der Unterraum eines normalen Raumes eine Vereinigung abzählbar vieler abgeschlossener Mengen ist.[5]
  • Beliebige Unterräume eines normalen Raumes sind im Allgemeinen nicht normal, wie man etwa an einem beliebigen vollständig regulären Raum, der nicht normal ist, etwa der Sorgenfrey-Ebene oder dem Niemytzki-Raum, eingebettet in seine Stone-Čech-Kompaktifizierung sieht, denn letztere ist als kompakter Hausdorff-Raum normal.
  • Produkte normaler Räume sind im Allgemeinen nicht normal, wie das Beispiel der Sorgenfrey-Ebene als Produkt der normalen Sorgenfrey-Gerade zeigt. Das erste Beispiel eines normalen Raumes, dessen Produkt mit einem metrischen Raum nicht wieder normal ist, ist die Michael-Gerade.

Fortsetzung stetiger Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Fortsetzungssatz von Tietze

Ein topologischer Raum ist genau dann ein normaler Raum, wenn jede auf einer abgeschlossenen Teilmenge stetige, reellwertige Funktion zu einer auf dem ganzen Raum stetigen, reellwertigen Funktion fortgesetzt werden kann.

Lemma von Urysohn[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Lemma von Urysohn

Ein topologischer Raum ist genau dann ein normaler Raum, wenn es zu je zwei disjunkten, abgeschlossenen Mengen eine stetige Funktion gibt mit und .

Abgeschlossene Umgebungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine einfache Umformulierung der Definitionen liefert:

Ein topologischer Raum ist genau dann normal, wenn es zu jeder Umgebung einer abgeschlossenen Menge eine offene Menge gibt, für die gilt:

Das bedeutet, dass für jede abgeschlossene Menge die abgeschlossenen Umgebungen eine Umgebungsbasis bilden.

Zerlegung der Eins[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein normaler Raum ermöglicht eine Zerlegung der Eins für jede lokal endliche offene Überdeckung.

Überdeckungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein T1-Raum ist genau dann normal, wenn jede offene, lokalendliche Überdeckung eine Schrumpfung besitzt, das heißt es gibt eine offene Überdeckung mit für alle .[6]

Spezialisierungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff des normalen Raumes kann auf mehrere Weisen verschärft werden:

  • Ein normaler Raum heißt vollständig normal, wenn es zu je zwei Mengen mit disjunkte offene Mengen und gibt mit und . Hier liegt also eine stärkere Trennungseigenschaft vor. In solchen Räumen sind alle Unterräume, nicht nur die abgeschlossenen, normal. Die Tichonow-Planke ist ein nicht-normaler Unterraum eines Kompaktums, letzteres ist daher normal aber nicht vollständig normal.
  • Ein normaler Raum heißt perfekt normal, wenn es zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen eine stetige Funktion gibt mit und . In solchen Räumen gilt also eine stärkere Version des Urysohnschen Lemmas. Die Einpunktkompaktifizierung der Tichonow-Planke ist nicht perfekt normal, da der unendlich ferne Punkt keine -Menge ist und daher nicht Nullstellengebilde einer stetigen, reellwertigen Funktion sein kann.
  • Ein normaler Raum heißt total normal, falls es zu jeder offenen Menge eine offene Überdeckung gibt, so dass
    • Jedes ist eine -Menge, das heißt eine abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen.
    • ist lokalendlich auf , d. h. zu jedem gibt es eine Umgebung , die mit nur endlich vielen der einen nicht-leeren Schnitt hat.
Solche Räume spielen in der Dimensionstheorie eine Rolle. Perfekt normale Räume sind total normal.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2001, ISBN 3-540-67790-9.
  • Egbert Harzheim, Helmut Ratschek: Einführung in die Allgemeine Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-06355-4. MR0380697
  • Horst Schubert: Topologie (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).
  • Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1970 (MR0264581).

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1970, S. 99 (MR0264581).
  2. Schubert (S. 77) etwa nennt einen normalen Raum einen solchen, der im hier vorliegenden Artikel als T4-Raum bezeichnet wird.
  3. Heinrich Tietze: Beiträge zur allgemeinen Topologie I. Axiome für verschiedene Fassungen des Umgebungsbegriffs. In: Mathematische Annalen. 88, 1923, ISSN 0025-5831, S. 290–312, ursinus.edu (PDF; 1,23 MB).
  4. N. Bourbaki: Éléments d’histoire des mathématiques. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-33938-0, S. 205.
  5. René Bartsch: Allgemeine Topologie. Walter de Gruyter GmbH & Co KG, 2015, ISBN 978-3-11-040618-4, S. 124, Lemma 4.4.13
  6. Karl Peter Grotemeyer: Topologie, Bibliographisches Institut Mannheim (1969), ISBN 3-411-00836-9, Satz 43