Ordnung eines Gruppenelementes

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Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter der Ordnung eines Gruppenelementes oder Elementordnung eines Elements g einer Gruppe (G, \cdot) die kleinste natürliche Zahl n > 0, für die g^n = e gilt, wobei e das neutrale Element der Gruppe ist. Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, g habe unendliche Ordnung. Elemente endlicher Ordnung werden auch Torsionselemente genannt. Die Ordnung wird manchmal mit \operatorname{ord}(g) oder \operatorname{o}(g) bezeichnet.

Die Potenz g^n eines Gruppenelementes g ist dabei für natürliche Hochzahlen n \ge 0 induktiv definiert:

  • g^0 := e
  • g^{k+1} := g^k \cdot g für alle natürlichen k \ge 0

Die Zahl \exp(G) := \operatorname{kgV}\left\{\operatorname{ord}(g)\,|\,g\in G\right\} wird, wenn sie endlich ist, Gruppenexponent genannt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Nach dem Satz von Lagrange haben alle Elemente einer endlichen Gruppe eine endliche Ordnung, die ein Teiler der Gruppenordnung, d. h. der Anzahl der Elemente der Gruppe, ist.
  • Umgekehrt existiert in einer endlichen Gruppe nach dem Satz von Cauchy zu jedem Primteiler p der Gruppenordnung ein Element, das die Ordnung p hat. Für zusammengesetzte Teiler ist keine allgemeine Aussage möglich (während zum trivialen Teiler 1 das neutrale Element e=e^1 gehört).
  • Die Ordnung eines Elementes ist gleich der Ordnung der Untergruppe, die von diesem Element erzeugt wird.
  • Es gilt g^d = e genau dann, wenn d ein Vielfaches der Ordnung \operatorname{ord}(g) des Elements g ist.
  • In abelschen Gruppen ist die Ordnung des Produktes g\cdot h ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Ordnungen von g und h. In nichtabelschen Gruppen ist keine derartige Aussage möglich; beispielsweise hat das Element \left[\!\begin{smallmatrix}1 & 1\\
0 & 1\end{smallmatrix}\!\right] der Gruppe SL2(Z) unendliche Ordnung, obwohl es das Produkt der Elemente \left[\!\begin{smallmatrix}0 & 1\\
-1 & 0\end{smallmatrix}\!\right] mit der Ordnung 4 und \left[\!\begin{smallmatrix}0 & -1\\
1 & 1\end{smallmatrix}\!\right] mit der Ordnung 6 ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • J. C. Jantzen, J. Schwermer: Algebra. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-21380-5.