Orthodrome

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Orthodrome auf der Erdkugel zwischen Los Angeles und London
Der kürzeste Weg auf der Kugeloberfläche zwischen Punkt A und B ist eine Orthodrome.

Die Orthodrome (griech. orthos für „gerade“, dromos für „Lauf“) ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche.

Die Orthodrome ist eine Geodäte für den speziellen Fall einer Kugeloberfläche. Die Orthodrome ist immer ein Teilstück eines Großkreises. In der Luftfahrt fliegt man meist entlang dieser Orthodrome, um die geringste Flugstrecke zurücklegen zu müssen, daher auch die umgangssprachlich häufiger gebrauchte synonyme Bezeichnung Luftlinie.

Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grundlage für die folgenden Berechnungen sind die Formeln aus der sphärischen Trigonometrie.

Verwendete Variablen Bedeutung
Geographische Breite
Geographische Länge
Anfangspunkt
Endpunkt
Nördlichster Punkt der Orthodrome
Kurswinkel bei A
Kurswinkel bei B
Zentriwinkel (Strecke AB, ausgedrückt als Winkel)

Dabei ist in Richtung Westen negativ, Richtung Osten positiv; ist positiv für Breiten der Nordhemisphäre und negativ auf der Südhalbkugel.

Strecke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Winkel lässt sich die Strecke folgendermaßen angeben:

Um die Distanz zwischen den zwei Punkten zu berechnen, muss noch mit dem Erdradius (rund 6.370 km) multipliziert werden (für im Bogenmaß; falls in Grad angegeben ist, muss noch zusätzlich mit ° multipliziert werden).

Kurswinkel und rechtweisende Kurse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kurswinkel

Die beiden Parameter und lassen sich auch direkt aus den Breiten- und Längengraden bzw. und bzw. bestimmen:

rechtweisende Kurse A → B
rechtweisende Kurse B → A

Nördlichster Punkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einer gnomonischen Projektion werden Orthodromen stets als gerade Strecke abgebildet

Berechnung des nördlichsten Punkts einer Orthodrome für einen Anfangspunkt A und einen Anfangs-Kurswinkel α:

Beispiel Berechnung der Entfernung Berlin–Tokio[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Geographische Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte:

  • Berlin
    • 52° 31' 0" N = 52,517°
    • 13° 24' 0" E = 13,40°
  • Tokio
    • 35° 42' 0" N = 35,70°
    • 139° 46' 0" E = 139,767°

Winkelberechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

bzw. im Bogenmaß

Streckenberechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Vereinfachung wird von einer Erdkugel mit dem Umfang 40.000 km bzw. dem Radius 6.370 km ausgegangen.

Oder für im Bogenmaß:

Das sind aufgrund der idealisierten Geodaten selbstverständlich nur zwei Näherungen. Sie unterscheiden sich nur deshalb um 6 km, weil aus dem gerundeten Erdradius 6.370 km ein Umfang der Erdkugel von knapp 40.024 km statt 40.000 km folgt. Die tatsächliche Entfernung zwischen den beiden angegebenen Punkten in Berlin und Tokio kann bei Verwendung des WGS84-Referenzellipsoids zu 8941,2 km genauer berechnet werden, also mit einer Abweichung von etwa 23 km oder 0,26 % im Vergleich zur zweiten Näherung.

Genauere Formel zur Abstandsberechnung auf der Erde[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit folgenden Formeln kann der Abstand zwischen zwei Standorten auf der Erde auf 50 Meter genau berechnet werden, siehe dazu auch Thaddeus Vincenty. Dabei wird keine Kugel, sondern das WGS84-Ellipsoid zugrunde gelegt. Sollten Koordinaten eines anderen Referenzellipsoiden verwendet werden, müssen die Parameter (Radius) und (Abplattung) angepasst werden.

Seien und die geografische Breite und Länge von Standort A, und die geografische Breite und Länge von Standort B im Gradmaß. Der Abstand zwischen beiden Standorten berechnet sich wie folgt:

Abplattung der Erde:

Äquatorradius der Erde:

, ,

Zunächst wird der grobe Abstand D ermittelt:

Dabei ist im Bogenmaß einzusetzen.

Der Abstand wird durch die Faktoren und korrigiert:

Der Abstand in Kilometern berechnet sich abschließend wie folgt:

Berechnungsbeispiel Berlin – Tokio[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Abstand ist also auf etwa 50 m genau zu 8.941,2 km bestimmt worden.

Loxodrome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegenüberstellung von Loxodrome (rot) und Orthodrome (blau)
Loxodromeverlängerung relativ zur Orthodrome entlang des 50. Breitengrades in Prozent.

Bei der Navigation von Punkt A nach B mit einem Kompass eignet sich die Loxodrome besser, da sie immer mit dem gleichen Winkel die Meridiane kreuzt. Bei kurzen Strecken ist eine Loxodrome nur unwesentlich länger als eine Orthodrome. Bei hoher Breite und Entfernungen unterhalb von 30 Längengraden liegt der relative Längenunterschied bei weniger als 1 %. Danach steigt er deutlich an. Eine Reise entlang des 50. Breitengrades über 180 Längengrade ist 45 % länger als der Weg über einen Großkreis.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formel zur genaueren Abstandsberechnung: