Orthodrome

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Orthodrome auf der Erdkugel zwischen Los Angeles und London
Der kürzeste Weg auf der Kugeloberfläche zwischen Punkt A und B ist eine Orthodrome.

Die Orthodrome (griech. orthos für „gerade“, dromos für „Lauf“) ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche.

Die Orthodrome ist immer ein Teilstück eines Großkreises. In der Luftfahrt fliegt man meist entlang dieser Orthodrome, um die geringste Flugstrecke zurücklegen zu müssen, daher auch die umgangssprachlich häufiger gebrauchte synonyme Bezeichnung Luftlinie.

Berechnung[Bearbeiten]

Grundlage für die folgenden Berechnungen sind die Formeln aus der sphärischen Trigonometrie.

Verwendete Variablen Bedeutung
\, \phi Geographische Breite
\, \lambda Geographische Länge
\, A  (\phi_A, \lambda_A) Anfangspunkt
\, B  (\phi_B, \lambda_B) Endpunkt
\, P_N(\phi_N, \lambda_N) Nördlichster Punkt der Orthodrome
\, \alpha Kurswinkel bei A
\, \beta Kurswinkel bei B
\, \zeta Zentriwinkel (Strecke AB, ausgedrückt als Winkel)

Dabei ist \, \lambda in Richtung Westen negativ, Richtung Osten positiv; \, \phi ist positiv für Breiten der Nordhemisphäre und negativ auf der Südhalbkugel.

Strecke[Bearbeiten]

Als Winkel lässt sich die Strecke folgendermaßen angeben:

\, \zeta =\arccos\left(\sin(\phi_A)  \cdot \sin(\phi_B) + \cos(\phi_A) \cdot \cos(\phi_B) \cdot \cos(\lambda_B - \lambda_A) \right)

Um die Distanz zwischen den zwei Punkten zu berechnen, muss \zeta noch mit dem Erdradius (rund 6.370 km) multipliziert werden (für \zeta im Bogenmaß; falls \zeta in Grad angegeben ist, muss noch zusätzlich mit \pi / 180° multipliziert werden).

Kurswinkel und rechtweisende Kurse[Bearbeiten]

Kurswinkel
\alpha = \arccos \left( \frac{\sin(\phi_B) - \sin(\phi_A) \cdot \cos(\zeta)} {\cos(\phi_A)  \cdot \sin(\zeta)}\right)
\beta = \arccos \left( \frac{\sin(\phi_A) - \sin(\phi_B) \cdot \cos(\zeta)} {\cos(\phi_B)  \cdot \sin(\zeta)}\right)


Die beiden Parameter \alpha und \beta lassen sich auch direkt aus den Breiten- und Längengraden \phi_A bzw. \phi_B und \lambda_A bzw. \lambda_B bestimmen:

\alpha = \arccos \left( \frac{ \cos(\phi_A) \cdot \sin(\phi_B) - \cos(\lambda_A - \lambda_B) \cdot \cos(\phi_B) \cdot \sin(\phi_A) } {\sqrt{1- (\cos(\lambda_A - \lambda_B) \cdot \cos(\phi_A) \cdot \cos(\phi_B) + \sin(\phi_A) \cdot \sin(\phi_B))^2}} \right)
\beta = \arccos \left( \frac{ \cos(\phi_B) \cdot \sin(\phi_A) - \cos(\lambda_A - \lambda_B) \cdot \cos(\phi_A) \cdot \sin(\phi_B) } {\sqrt{1- (\cos(\lambda_A - \lambda_B) \cdot \cos(\phi_A) \cdot \cos(\phi_B) + \sin(\phi_A) \cdot \sin(\phi_B))^2}} \right)


rechtweisende Kurse A → B
\, rwK_A = \alpha
\, rwK_B = 180^\circ - \beta
rechtweisende Kurse B → A
\, rwK_B = 360^\circ - \beta
\, rwK_A = 180^\circ + \alpha

Nördlichster Punkt[Bearbeiten]

In einer gnomonischen Projektion werden Orthodromen stets als gerade Strecke abgebildet

Berechnung des nördlichsten Punkts einer Orthodrome für einen Anfangspunkt A und einen Anfangs-Kurswinkel α:

\, \phi_N = \arccos \left( \sin(|\alpha_A|) \cdot \cos(\phi_A) \right)
 \lambda_N =  \lambda_A + \operatorname{sgn}(\alpha_A) \cdot \left| \arccos \left( \frac{\tan( \phi_A )}{\tan( \phi_N )}\right) \right|

Beispiel Berechnung der Entfernung Berlin–Tokio[Bearbeiten]

Geographische Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte:

  • Berlin
    • 52° 31' 0" N = 52,517°
    • 13° 24' 0" E = 13,40°
  • Tokio
    • 35° 42' 0" N = 35,70°
    • 139° 46' 0" E = 139,767°

Winkelberechnung[Bearbeiten]

\, \phi_A =  52{,}517^\circ
\, \lambda_A =  13{,}40^\circ
\, \phi_B =  35{,}70^\circ
\, \lambda_B = 139{,}767^\circ
\begin{align}\, \zeta &=\arccos \Big( \sin(\phi_A) \sin(\phi_B) + \cos(\phi_A)\cos(\phi_B)\cos(\lambda_B - \lambda_A) \Big) \\
& =\arccos \Big( \sin(52{,}517^\circ) \sin(35{,}70^\circ) + \cos(52{,}517^\circ)\cos(35{,}70^\circ)\cos(139{,}767^\circ - 13,40^\circ) \Big)\\
&=\arccos(0{,}79353 \cdot 0{,}58354 + 0{,}60853 \cdot 0{,}81208 \cdot (-0{,}59296) ) \\ 
& =\arccos( 0{,}1700) \\
&= 80{,}212^\circ \end{align}
bzw. \, \zeta = 1{,}400 im Bogenmaß

Streckenberechnung[Bearbeiten]

Zur Vereinfachung wird von einer Erdkugel mit dem Umfang 40.000 km bzw. dem Radius 6.370 km ausgegangen.


\begin{align}
L & = \frac{\zeta}{360^\circ} \cdot 40\,000\ \mathrm{km} \\ 
& = \frac{80{,}212^\circ}{360^\circ} \cdot 40\,000\ \mathrm{km} \\ 
& = 8912\ \mathrm{km}
\end{align}

Oder für \, \zeta im Bogenmaß:


\begin{align}
L & = \zeta \cdot 6370\ \mathrm{km} \\ 
& = 8918\ \mathrm{km}
\end{align}

Das sind aufgrund der idealisierten Geodaten selbstverständlich nur zwei Näherungen. Sie unterscheiden sich nur deshalb um 6 km, weil aus dem gerundeten Erdradius 6.370 km ein Umfang der Erdkugel von knapp 40.024 km statt 40.000 km folgt. Die tatsächliche Entfernung zwischen den beiden angegebenen Punkten in Berlin und Tokio kann bei Verwendung des WGS84-Referenzellipsoids zu 8941,2 km genauer berechnet werden, also mit einer Abweichung von etwa 23 km oder 0,26 % im Vergleich zur zweiten Näherung.

Genauere Formel zur Abstandsberechnung auf der Erde[Bearbeiten]

Mit folgenden Formeln kann der Abstand zwischen zwei Standorten auf der Erde auf 50 Meter genau berechnet werden, siehe dazu auch Thaddeus Vincenty. Dabei wird keine Kugel, sondern das WGS84-Ellipsoid zugrunde gelegt. Sollten Koordinaten eines anderen Referenzellipsoiden verwendet werden, müssen die Parameter a (Radius) und f (Abplattung) angepasst werden.

Seien \phi_A und \lambda_A die geografische Breite und Länge von Standort A, \phi_B und \lambda_B die geografische Breite und Länge von Standort B im Gradmaß. Der Abstand zwischen beiden Standorten berechnet sich wie folgt:

Abplattung der Erde: f = \frac{1}{298{,}257\,223\,563}

Äquatorradius der Erde in Kilometern: a = 6378,137

F_{grad} = \frac{\phi_A + \phi_B}{2}, G_{grad} = \frac{\phi_A - \phi_B}{2}, l_{grad} = \frac{\lambda_A - \lambda_B}{2}

Die Parameter müssen nun in das Bogenmaß umgerechnet werden:

F_{rad} = \frac{\pi}{180} \cdot F_{grad}, G_{rad} = \frac{\pi}{180} \cdot G_{grad}, l_{rad} = \frac{\pi}{180} \cdot l_{grad}

Nun wird der grobe Abstand D ermittelt:

S = (\sin{G_{rad}})^2 \cdot (\cos{l_{rad}})^2 + (\cos{F_{rad}})^2 \cdot (\sin{l_{rad}})^2
C = (\cos{G_{rad}})^2 \cdot (\cos{l_{rad}})^2 + (\sin{F_{rad}})^2 \cdot (\sin{l_{rad}})^2
w = \arctan{\sqrt{\frac{S}{C}}}
D = 2 \cdot w \cdot a

Der Abstand D muss nun durch die Faktoren H_1 und H_2 korrigiert werden:

R = \frac{\sqrt{S \cdot C}}{w}
H_1 = \frac{ 3 \cdot R - 1}{2 \cdot C}
H_2 = \frac{3 \cdot R + 1}{2 \cdot S}

Der Abstand s in Kilometern berechnet sich abschließend wie folgt:

s = D \cdot \left(1 + f \cdot H_1 \cdot (\sin{F_{rad}})^2 \cdot (\cos{G_{rad}})^2 - f \cdot H_2 \cdot (\cos{F_{rad}})^2 \cdot (\sin{G_{rad}})^2 \right)

Berechnungsbeispiel Berlin – Tokio[Bearbeiten]


\begin{array}{lcl}
\phi_A & = & 52{,}5167 \\
\lambda_A & = & 13{,}400 \\
\phi_B & = & 35{,}700 \\
\lambda_B & = & 139{,}7667 \\
\\ 
f & = & 0{,}003352811 \\ 
a & = & 6378{,}137 \\ 
F_{grad} & = & 44{,}10833333 \\ 
G_{grad} & = & 8{,}408333333 \\ 
l_{grad} & = & -63{,}18333333 \\ 
S & = & 0{,}414982619 \\ 
C & = & 0{,}585017381 \\ 
w & = & 0{,}699965691 \\ 
R & = & 0{,}703918833 \\ 
D & = & 8928{,}958342 \\ 
H_1 & = & 0{,}950190999 \\ 
H_2 & = & 3{,}749261245 \\ 
\\ 
s & = & 8941{,}201228 \ \mathrm{km}
\end{array}

Loxodrome[Bearbeiten]

Gegenüberstellung von Loxodrome (rot) und Orthodrome (blau)
Loxodromeverlängerung relativ zur Orthodrome entlang des 50. Breitengrades in Prozent.

Bei der Navigation von Punkt A nach B mit einem Kompass eignet sich die Loxodrome besser, da sie immer mit dem gleichen Winkel die Meridiane kreuzt. Bei kurzen Strecken ist eine Loxodrome nur unwesentlich länger als eine Orthodrome. Bei hoher Breite und Entfernungen unterhalb von 30 Längengraden liegt der relative Längenunterschied bei weniger als 1 %. Danach steigt er deutlich an. Eine Reise entlang des 50. Breitengrades über 180 Längengrade ist 45 % länger als der Weg über einen Großkreis.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

Formel zur genaueren Abstandsberechnung:

  • Meeus, J.: Astronomical Algorithms, S 85, Willmann-Bell, Richmond 2000 (2nd ed., 2nd printing), ISBN 0-943396-61-1