Orthogonale Polynome

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Unter orthogonalen Polynomen versteht man in der Mathematik eine unendliche Folge von Polynomen

in einer Unbekannten , so dass den Grad hat, die orthogonal bezüglich eines Skalarproduktes sind.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Borel-Maß auf und betrachte den Hilbertraum der bezüglich quadratintegrierbaren Funktionen mit dem Skalarprodukt

Weiter sei für alle . Das ist zum Beispiel der Fall, wenn das Maß kompakten Träger besitzt. Insbesondere ist das Maß endlich und man kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit fordern. Im einfachsten Fall ist das Maß durch eine nicht-negative Gewichtsfunktion gegeben: .

Eine Folge von Polynomen , , heißt Folge orthogonaler Polynome, falls Grad hat und verschiedene Polynome paarweise orthogonal sind:

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist das Maß gegeben, so können die zugehörigen Polynome eindeutig mit Hilfe des Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahren aus den Monomen , , konstruiert werden. Dafür genügt es offensichtlich, die Momente

zu kennen. Die Umkehrung ist als Stieltjes'sches Momentenproblem bekannt.

Normierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sind verschiedene Möglichkeiten der Normierung in Verwendung. Um diese zu beschreiben führen wir folgende Konstanten ein:

und

Dann bezeichnet man die Polynome als orthonormal falls und als monisch falls .

Rekursionsrelation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Orthogonale Polynome erfüllen eine dreistufige Rekursionsrelation

(wobei im Fall zu setzen ist) mit

und den Konstanten aus dem vorherigen Abschnitt.

Die Rekursionsrelation kann auch äquivalent in der Form

mit

geschrieben werden.

Speziell im Fall von orthonormalen Poynomen, , erhält man eine symmetrische Rekursionsrelation und die orthonormalen Polynome erfüllen genau die verallgemeinerte Eigenvektorgleichung des zugehörigen Jacobi-Operators. Das Maß ist das Spektralmaß des Jacobi-Operators zum ersten Basisvektor .

Christoffel–Darboux-Formel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt

und im Fall erhält man durch Grenzwertbildung

Nullstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Polynom hat genau Nullstellen, die alle einfach sind und im Träger des Maßes liegen. Die Nullstellen von liegen strikt zwischen den Nullstellen von .

Liste von orthogonalen Polynomen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Milton Abramowitz und Irene A. Stegun (Herausg.), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York, Dover (1965), ISBN 978-0486612720 (Kapitel 22)
  • Gábor Szegő, Orthogonal Polynomials, Colloquium Publications - American Mathematical Society, 1939. ISBN 0-8218-1023-5.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Orthogonale Polynome in der NIST Digital Library of Mathematical Functions