P-triviale σ-Algebra

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
 Dies ist eine alte Version dieser Seite, zuletzt bearbeitet am 25. September 2016 um 09:25 Uhr durch Crazy1880 (Diskussion | Beiträge) (hier groß). Sie kann sich erheblich von der aktuellen Version unterscheiden.
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Eine P-triviale σ-Algebra ist in der Stochastik ein spezielles Mengensystem, das sich dadurch auszeichnet, dass jede Teilmenge des Mengensystems (bzw. jedes Ereignis) die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 zugeordnet bekommt. Die Ereignisse sind also fast sicher oder fast unmöglich. P-triviale σ-Algebren treten in der Stochastik beispielsweise im Rahmen der 0-1-Gesetze auf. Auch in der Ergodentheorie finden sie Verwendung, beispielsweise bei der Frage, ob ein maßerhaltendes dynamisches System auch ergodisch ist.

Definition

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum . Eine σ-Algebra heißt eine P-triviale σ-Algebra, wenn für alle gilt, dass entweder oder ist.

Elementare Beispiele

  • Die triviale σ-Algebra ist immer auch P-trivial. Dies folgt aus der Definition des Wahrscheinlichkeitsmaßes, da dort immer und gefordert wird.
  • Sind zwei zueinander singuläre Wahrscheinlichkeitsmaße gegeben, so existiert eine disjunkte Zerlegung der Grundmenge, es gilt also und , so dass und . Dann ist die σ-Algebra sowohl - als auch -trivial. Aufgrund der elementaren Rechenregel für Wahrscheinlichkeiten gilt nämlich und , die Wahrscheinlichkeiten der Grundmenge und der leeren Menge sind wieder durch die Definition eines Wahrscheinlichkeitsmaßes gegeben.

Anwendungsbeispiele

Meist ist der Beweis, dass ein Mengensystem P-trivial ist, nicht leicht zu führen, demnach tragen einige dieser Aussagen Eigennamen. Sie werden zu den 0-1-Gesetzen gezählt, da sie Aussagen darüber treffen, welche Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 eintreten. Klassische Beispiele sind:

Eigenschaften

Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ist eine P-triviale σ-Algebra von jedem anderen Mengensystem unabhängig. Dies lässt sich mittels elementarer Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten herleiten.

Eine wichtige Schlussfolgerung daraus ist, dass für den bedingten Erwartungswert gilt, dass wenn P-trivial ist, gilt, da und voneinander unabhängig sind. Diese Schlussfolgerung findet beispielsweise Verwendung bei dem individuellen Ergodensatz und dem Lp-Ergodensatz.

Literatur