Parameterform

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Die Parameterform oder Punktrichtungsform ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. In der Parameterform wird eine Gerade oder Ebene durch einen Stützvektor und ein oder zwei Richtungsvektoren dargestellt. Jeder Punkt der Gerade oder Ebene wird dann in Abhängigkeit von ein oder zwei Parametern beschrieben. Bei der Parameterform handelt es sich also um eine spezielle Parameterdarstellung.

Parameterform einer Geradengleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Parameterdarstellung einer Gerade

Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Parameterform wird eine Gerade in der Ebene durch einen Stützvektor und einen Richtungsvektor beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren Ortsvektoren die Gleichung

  mit  

erfüllen. Der Stützvektor ist dabei der Ortsvektor eines beliebigen Punkts auf der Geraden, der auch als Aufpunkt bezeichnet wird. Der Richtungsvektor ist der Differenzvektor zu einem beliebigen weiteren Punkt der Geraden. In der Parameterform werden die Punkte der Geraden in Abhängigkeit von dem Parameter dargestellt. Jedem Wert von entspricht genau ein Punkt der Geraden. Durchläuft der Parameter die reellen Zahlen, so erhält man alle Punkte der Geraden. Ist ein Einheitsvektor, dann gibt gerade den Abstand eines Punkts auf der Geraden vom Aufpunkt an.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ausgeschrieben lautet die Parameterform einer Geradengleichung

mit . Im Bild oben ist der Stützvektor und der Richtungsvektor , man erhält als Geradengleichung

.

Jede Wahl von , beispielsweise oder , ergibt dann einen Geradenpunkt.

Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Zweipunkteform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Zweipunkteform einer Geradengleichung lässt sich ein Richtungsvektor der Geraden als Differenzvektor zwischen den Ortsvektoren und der beiden Punkte erhalten, das heißt

.

Als Stützvektor kann der Ortsvektor eines der Punkte verwendet werden.

Aus der Normalenform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Normalenform einer Geradengleichung kann ein Richtungsvektor der Geraden bestimmt werden, indem die beiden Komponenten des Normalenvektors der Geraden vertauscht werden und bei einer der beiden Komponenten das Vorzeichen geändert wird, das heißt

.

Der Stützvektor kann aus der Normalenform übernommen werden.

Aus der Koordinatenform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Koordinatenform einer Geradengleichung mit den Parametern und lässt sich ein Normalenvektor der Gerade direkt als ablesen und damit ein Richtungsvektor der Gerade analog zur Normalenform über

ermitteln. Einen Stützvektor der Gerade erhält man, je nachdem ob oder ungleich null ist, durch Wahl von

  oder   .

Analog lassen sich auf diese Weise auch aus der Achsenabschnittsform und der hesseschen Normalform ein Stützvektor und ein Richtungsvektor berechnen.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemein lassen sich durch die Parameterform nicht nur Geraden in der Ebene, sondern auch Geraden im drei- oder höherdimensionalen Raum beschreiben. Im -dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Gerade entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren die Gleichung

  mit  

erfüllen. Es wird dabei lediglich mit -komponentigen statt zweikomponentigen Vektoren gerechnet.

Parameterform einer Ebenengleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Parameterdarstellung einer Ebene

Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Parameterform wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum durch einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren und beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren die Gleichung

  mit  

erfüllen. Der Stützvektor ist dabei der Ortsvektor eines beliebigen Punkts in der Ebene, der wiederum als Aufpunkt bezeichnet wird. Die beiden Richtungsvektoren, hier auch Spannvektoren genannt, müssen in der Ebene liegen und ungleich dem Nullvektor sein. Sie dürfen auch nicht kollinear sein, das heißt darf sich nicht als Vielfaches von schreiben lassen und umgekehrt. In der Parameterform werden die Punkte der Ebene in Abhängigkeit von den zwei Parametern und dargestellt. Jedem Wertepaar dieser Parameter entspricht dann genau ein Punkt der Ebene. Die Richtungsvektoren spannen somit ein affines Koordinatensystem auf, wobei die affinen Koordinaten eines Punkts der Ebene sind.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ausgeschrieben lautet die Parameterform einer Ebenengleichung

mit . Ist beispielsweise der Stützvektor und sind die Richtungsvektoren und , so erhält man als Ebenengleichung

.

Jede Wahl von , beispielsweise oder , ergibt dann einen Ebenenpunkt.

Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Dreipunkteform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Dreipunkteform einer Ebenengleichung lassen sich zwei Richtungsvektoren der Ebene als Differenzvektoren zwischen den Ortsvektoren , und jeweils zweier Punkte erhalten, also

  und   .

Als Stützvektor kann der Ortsvektor eines der Punkte verwendet werden.

Aus der Normalenform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Normalenform einer Ebenengleichung können aus dem Normalenvektor zwei Richtungsvektoren der Ebene durch Setzen von

  und  

bestimmt werden. Sollte einer dieser beiden Vektoren gleich dem Nullvektor sein, kann stattdessen der Vektor gewählt werden. Der Stützvektor kann aus der Normalenform übernommen werden.

Aus der Koordinatenform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Koordinatenform einer Ebenengleichung mit den Parametern und lässt sich ein Normalenvektor der Ebene als ablesen und damit zwei Richtungsvektoren der Ebene über

  und  

ermitteln. Sollte einer dieser beiden Vektoren gleich dem Nullvektor sein, kann stattdessen der Vektor gewählt werden. Einen Stützvektor erhält man, je nachdem welche der Zahlen ungleich null ist, durch Wahl von

  oder   .

Analog lassen sich auf diese Weise auch aus der Achsenabschnittsform und der hesseschen Normalform ein Stützvektor und ein beziehungsweise zwei Richtungsvektoren berechnen.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemein lassen sich durch die Parameterform nicht nur Ebenen im dreidimensionalen Raum, sondern auch in höherdimensionalen Räumen beschreiben. Im -dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Ebene entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren die Gleichung

  mit  

erfüllen. Es wird dabei lediglich mit -komponentigen statt dreikomponentigen Vektoren gerechnet.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Steffen Goebbels, Stefan Ritter: Mathematik verstehen und anwenden. Springer, 2011, ISBN 978-3-8274-2762-5.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]