Parameterintegral

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Als Parameterintegral wird in der Analysis ein Integral bezeichnet, dessen Integrand von einem Parameter abhängt. Ein wichtiges Beispiel ist die eulersche Darstellung der Gammafunktion. Der Wert eines solchen Integrals ist dann eine Funktion des Parameters und es stellt sich beispielsweise die Frage, ob diese Funktion stetig oder differenzierbar ist.

Definition des Parameterintegrals[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien ein Maßraum, , ein Banachraum und . Für alle sei über integrierbar bezüglich des Maßes . Dann heißt

Parameterintegral mit dem Parameter .

Beispiel für Parameterintegrale
Die Gammafunktion

Stetigkeit von Parameterintegralen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein metrischer Raum, ein Banachraum, ein Maßraum. Für eine Abbildung gelte

  • für jedes ,
  • (also stetig) für ,
  • Es gibt ein mit für .

Dann ist

wohldefiniert und stetig.

Differenzierbarkeit von Parameterintegralen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei offen, ein Banachraum, ein Maßraum. Für eine Abbildung gelte

  • für jedes ,
  • (also stetig differenzierbar) für ,
  • Es gibt ein mit für .

Dann ist

stetig differenzierbar mit

Merke:

Leibnizregel für Parameterintegrale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Praxis ist auch relevant, wie man Parameterintegrale mit abhängigen Funktion von in den Grenzen ableitet. Nach der Leibnizregel geschieht das nach folgendem Verfahren:

Für stetig differenzierbare Funktionen , und gilt

oder in Differentialschreibweise nach Leibniz

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann diese Regel ganz einfach herleiten, indem man sozusagen wie bei Produkt- als auch bei der Kettenregel vorgeht. In diesem Integral sind drei Funktionen, die von abhängen und nach diesen wird einzeln abgeleitet, während die anderen solange festgehalten werden:

Wie man den ersten Term der rechten Seite ableitet, steht in der Merkregel bei Differenzierbarkeit von Parameterintegralen.

An das kommt man heran, indem man die Kettenregel anwendet. So wird aus dem zweiten Term der rechten Seite:

So wird auch nach dem variablen differenziert.

Als Ergebnis erhalten wir einmal die Ableitung des Integrals nach der oberen Grenze multipliziert mit und zweitens eine nach der unteren Grenze multipliziert mit . Diese Integrale kann man tatsächlich ausrechnen, wie man aus dem Fundamentalsatz der Analysis weiß.

und

Alles zusammen führt dann zur Leibnizregel für Parameterintegrale, wie sie oben steht.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]