Parkettierung mit Fünfecken

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Die 15 bisher bekannten Typen der ebenen Parkettierung mit kongruenten, konvexen Fünfecken

Die Parkettierung mit Fünfecken (auch Kachelung/Pflasterung/Flächenschluss mit Pentagonen) ist eine lückenlose, überlappungsfreie geometrische Parkettierung, bei der alle Elemente kongruent (deckungsgleich) zueinander und von der Form eines Fünfecks sind.

Ein besonders intensiv untersuchter Fall ist die ebene Parkettierung mit kongruenten (deckungsgleichen), konvexen Fünfecken. Bemerkenswert an der Entdeckungsgeschichte dieser Fünfecke ist, dass 5 der derzeit bekannten 15 verschiedenen Typen von der Amateur-Mathematikerin Marjorie Rice und einem Computerwissenschaftler gefunden wurden, die durch Artikel von Martin Gardner in der populärwissenschaftlichen Zeitschrift Scientific American zu ihren Nachforschungen inspiriert worden waren.

Parkettierung mit kongruenten, konvexen Fünfecken in der Ebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Problematik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Geklärte Systematik der Polygone (n = 3, 4, ≥ 6)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Alle Formen von Dreiecken[A 1] und konvexen Vierecken parkettieren die Ebene.
Bezüglich Polygonen mit einer Eckenzahl bewies Reinhardt bereits 1918,[1] dass es einerseits genau drei Typen von konvexen Sechsecken (Hexagonen) gibt, die parkettieren können, und dass es andererseits unmöglich ist, die Ebene mit einem konvexen Siebeneck (Heptagon), Achteck (Oktagon) oder einem höheren Polygon zu parkettieren.

Ungeklärte Systematik der Fünfecke (n = 5)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Gegensatz zur Systematik der Parkettierungen der Gesamtheit aller anderen konvexen Polygone ist die Systematik der Parkettierung mit Fünfecken noch nicht geklärt.

Nach der Dissertation von Reinhardt, der 1918 die ersten 5 Fünfeck-Typen beschrieb,[1] vergingen 50 Jahre, bis das Thema ab den späten 1960er bis in die Mitte der 1980er Jahre wieder aufgenommen und um 9 Typen erweitert wurde. Danach vergingen 30 Jahre, bis mit einem eigens zu diesem Zweck erstellten Computerprogramm 2015 ein weiterer Fünfeck-Typ, Typ 15, gefunden wurde. Man kann die konvexen Fünfecke, die geeignet sind, eine Ebene in kongruenter Weise zu parkettieren, in bisher 15 disjunkte Klassen (Typen) einteilen.[2]
Es ist derzeit aber nicht geklärt, ob es noch mehr solcher Typen von Fünfecken gibt.

Regelmäßiges Fünfeck

Dennoch sind Aussagen zu speziellen Aspekten gemacht worden:

  • Die Parkettierung einer euklidischen Ebene mit regelmäßigen Fünfecken ist unmöglich, da bei einem regelmäßigen Fünfeck der Innenwinkel 108° kein ganzzahliger Teiler des Vollwinkels 360° ist.
  • Hirschhorn und Hunt publizierten 1985 Zusammenhänge für Winkelsummen, die essenzielle Bedingungen für die Parkettierung mit Fünfecken sind: Ein gleichseitiges konvexes Fünfeck parkettiert dann und nur dann, wenn es zwei Winkel besitzt, deren Summe 180° ist, oder wenn es das einzigartige gleichseitige konvexe Fünfeck ist, welches (in den Bezeichnungen des Typs 7 in der nachfolgenden Tabelle) die Winkel A≈99.929°, B≈89.264°, C≈144.561°, D≈70.878° und E≈135.368°[A 2] besitzt, wobei B+2E = 2C+D = 2A+B+D = 360°.[3]
  • Olga Bagina konnte zeigen, dass es nur 8 konvexe Seite-auf-Seite-Parkettierungstypen geben kann,[4][5] ein Resultat, das mit Referenz auf Bagina, aber in unabhängiger Weise von Teruhisa Sugimoto[6] bestätigt wurde.

Anzahl der Freiheitsgrade[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Parkettierung fordert man Kongruenz unter den parkettierenden Kacheln, jedoch mit der Protokachel nur Ähnlichkeit. Ein kongruentes Fünfeck ist durch sieben Bestimmungsstücke (7 unabhängige Beziehungen) bestimmt, ein ähnliches durch sechs. Bei ähnlichen Fünfecken entsprechen sich Längenverhältnisse (von Seiten und Diagonalen) wechselseitig und damit die Winkel. Hat man vier Winkel, dann ist der fünfte immer durch die Winkelsumme von 540° bestimmt. Für alle unten genannte Typen gibt es einen Freiheitsgrad (einen freien Parameter, Seitenverhältnis oder Winkel) mit Ausnahme der Typen 14 und 15, bei denen es nur eine einzige Protokachel gibt, zu der alle Fünfecke ähnlich sind.

Reinhardt (1918)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die fünf konvexen Fünfeck-Typen von K. Reinhardt (1918)[A 3]
1 2 3 4 5
p2 (2222) pgg (22×) p3 (333) p4 (442) p6 (632)
P5-type1.png P5-type2.png P5-type3.png P5-type4.png P5-type5.png
Prototile p5-type1.png
B+C=180°
A+D+E=360°[A 4]
Prototile p5-type2.png
c=e
B+D=180°
Prototile p5-type3.png
a=b, d=c+e
A=C=D=120°
Prototile p5-type4.png
b=c, d=e
B=D=90°
Prototile p5-type5.png
a=b, d=e
A=60°, D=120°
Lattice p5-type1.png
2er-Kachelmuster
Lattice p5-type2.png
4er-Kachelmuster
Lattice p5-type3.png
3er-Kachelmuster
Lattice p5-type4.png
4er-Kachelmuster
Lattice p5-type5.png
6er-Kachelmuster
R-I R-II R-II R-III2 R-III2

Im Jahr 1918 beschäftigte sich Karl Reinhardt, Assistent von David Hilbert, in seiner Dissertation[1] mit der „Zerlegung einer Ebene in gleicheckige, einer Gattung angehörige Normalpolygone“, wobei er besonders Fünf- und Sechsecke behandelte. Bei Fünfecken nahm Reinhardt eine Klassifizierung[7] bezüglich der Längenverhältnisse ihrer fünf Seiten vor:

  • R-I Alle fünf Seiten sind verschieden.
  • R-II Unter den fünf Seiten sind zwei gleiche; die anderen sind von diesen und untereinander verschieden.
  • R-III1 Unter den fünf Seiten sind drei gleiche; die anderen sind von diesen und untereinander verschieden.
  • R-III2 Unter den fünf Seiten sind zwei Paare gleicher, untereinander aber verschiedener; die letzte ist von diesen verschieden.
  • R-IV1 Unter den fünf Seiten sind vier gleiche; die letzte ist von diesen verschieden.
  • R-IV2 Unter den fünf Seiten sind drei gleiche und, davon verschieden, noch zwei gleiche.
  • R-V Alle fünf Seiten sind einander gleich.

Alle 15 hier beschriebenen Parkettierungstypen sind isohedral, was bedeutet, dass es unter den Abbildungen der Parkettierung auf sich selbst zu jedem Paar von Kacheln eine Abbildung gibt, die eine Kachel in die andere überführt; kurz: dass die gesamte Parkettierung von jeder Kachel aus gesehen „gleich aussieht“. Viele der 15 Parkettierungstypen sind mehrfach isohedral (mehrfach transitiv).

Kershner (1968) und James (1975)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konvexe Fünfeck-Typen
von R. B. Kershner (1968) und R. E. James (1975)[A 3]
6 7 8 10
p2 (2222) pgg (22×) p2 (2222)
P5-type6.png P5-type7.png P5-type8.png P5-type10.png
Prototile p5-type6.png
a=d=e, b=c
B+D=180°, 2B=E
Prototile p5-type7.png
b=c=d=e
B+2E=2C+D=360°
Prototile p5-type8.png
b=c=d=e
2B+C=D+2E=360°
Prototile p5-type10.png
a=b=c+e
A=90, B+E=180°
B+2C=360°
Lattice p5-type6.png
4er- Kachelmuster
Lattice p5-type7.png
8er-Kachelmuster
Lattice p5-type8.png
8er-Kachelmuster
Lattice p5-type10.png
6er-Kachelmuster
R-IV2 R-IV1 R-IV1 R-II
Richard B. Kershner Richard E. James

Der Mathematiker Richard B. Kershner fand 1968 drei weitere konvexe Fünfecke (Typen 6 bis 8), mit denen Parkettierung möglich ist, und kam zu der Überzeugung, dass mit den nun bekannten acht Typen die Liste von ebenen, parkettierungsfähigen Fünfecken komplett sei.[8]

Richard E. James III, damals Computerwissenschaftler bei der Control Data Corporation, hatte von Kershners Entdeckung in Martin Gardners Kolumne Mathematical Games in Scientific American gelesen und daraufhin 1975 ein weiteres Fünfeck (Typ 10) gefunden,[9][10] wodurch er Kershners Aussage der kompletten Liste widerlegte. Durch den Ansatz von James konnte auch im Nachhinein erklärt werden, welches Parkettierungssystem Kershner übersehen hatte.[11]

Rice (1976/77)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die vier konvexen Fünfeck-Typen von Marjorie Rice (1976/77)[A 3]
9 11 12 13
pgg (22×)
P5-type9.png P5-type11.png P5-type12.png P5-type13.png
Prototile p5-type9.png
b=c=d=e
2A+C=D+2E=360°
Prototile p5-type11.png
2a+c=d=e
A=90°, 2B+C=360°
C+E=180°
Prototile p5-type12.png
2a=d=c+e
A=90°, 2B+C=360°
C+E=180°
Prototile p5-type13.png
d=2a=2e
B=E=90°, 2A+D=360°
Lattice p5-type9.png
8er-Kachelmuster
Lattice p5-type11.png
8er-Kachelmuster
Lattice p5-type12.png
8er-Kachelmuster
Lattice p5-type13.png
8er-Kachelmuster
R-IV1 R-II R-I R-II

Angeregt durch Martin Gardners Kolumne Mathematical Games in Scientific American im Juli und Dezember 1975, begann Marjorie Rice, Hausfrau[12] und Autodidaktin in Bezug auf mathematische Geometrie, sich mit Parkettierung mit Fünfecken zu beschäftigen. Sie entwickelte ihre eigene Notation für Fünfecke und fand auf diese Weise eine weitere, bisher unbekannte Fünfeckform (Typ 9), die sie Gardner zuschickte.
Gardner leitete die Arbeit von Rice weiter an die Mathematik-Professorin Doris Schattschneider, die mit Rice in Kontakt trat und in den folgenden Jahren Rices Ergebnisse publizierte.[11][13]

In den Jahren 1976/77 entdeckte Rice mit ihrer Methode insgesamt vier neue Pentagon-Typen. Sie setzte Fünfeck-Typen auch künstlerisch um, indem sie Escher-artige Bildelemente auf diese Fünfecke übertrug:[14] Beispiele sind Typ 1[15], Typ 2[16] und Typ 13[17].

Der Eingangsbereich des Hauptgebäudes der Mathematical Association of America in Washington, D.C. wurde in den 1990er Jahren mit einem der von Rice gefundenen Fünfecke gefliest.[18]

Stein (1985) und Mann / McLoud / Von Derau (2015)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konvexe Fünfecke von R. Stein (1985) und C. Mann / J. McLoud / D. Von Derau (2015)[A 3]
14 15
p2 (2222) pgg (22×)
P5-type14.png P5-type15.png
Prototile p5-type14.png
2a=2c=d=e
A=90°, 2B+C=360°, C+E=180°
B=180°−arcsin(57-38 )≈145,34°
Prototile p5-type15.png
a=c=e, b=2a
A=150°, B=60°
C=135°, D=105°, E=90°
Lattice p5-type14.png
6er-Kachelmuster
Lattice p5-type15.png
12er-Kachelmuster
R-III2 R-III1
Stein (1985) Mann/McLoud/
Von Derau (2015)

Der deutsche Mathematikstudent Rolf Stein[19] fand 1985 den Typ 14, der in Folge von Schattschneider analysiert und publiziert wurde.[13] Seine Kacheln sind vollständig bestimmt.

2015 entdeckten das Mathematiker-Ehepaar Casey Mann und Jennifer McLoud sowie deren Student David Von Derau von der University of Washington in Bothell mittels eines Computerprogramms einen 15. Typ.[20][12][21]

Sie berücksichtigten dabei die Ergebnisse von Hirschhorn und Hunt[3] sowie von Bagina[4] und verwendeten einen Algorithmus, der nach nicht gleichseitigen konvexen Fünfecken suchte, die keine Kante-an-Kante-Parkettierung (non-edge-to-edge tiling) aufwiesen.[22] Von Derau implementierte das Programm und bereits in der Debugging-Phase wurde das neue Fünfeck, Typ 15, gefunden.

Das Projekt der Suche nach weiteren Fünfecken soll fortgeführt werden.

Michaël Rao (2017)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dass zwei Jahre lang kein weiteres Fünfeck gefunden wurde, kann an den Erkenntnissen von Michaël Rao liegen, wonach ein „16. Fünfeck“ nicht mehr existiert, bzw. immer nur eine Variante der bekannten 15 Fünfecke ist.[23] Da bisher noch kein wissenschaftliches Peer-Review seiner Beweisführung vorliegt (wohl aber positive Einzelmeinungen),[24] kann die Suche danach zu Ende sein – die abschließende Bestätigung steht aber derzeit noch aus.

Spezielle Fälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fünfeck-Parkettierung von Sechsecken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fünfeck/Sechseck-Parkettierung

Einige Sechsecke können durch einfache geometrische Operationen als Parkettierung mit Fünfecken dargestellt werden.

Beispielsweise lässt sich ein regelmäßiges Sechseck durch einen seitenvertikalen Schnitt in zwei Typ-1-Fünfecke zerlegen. Weitere Unterteilung in drei (Typ 3), vier (Typ 4) und neun (Typ 3) kongruente Fünfecke ist möglich.

Nichtperiodische Fünfeck-Parkettierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hirschhorn-Parkettierung durch kongruente Fünfecke

Auch nichtperiodische Parkettierungen lassen sich mit kongruenten Fünfecken konstruieren, wie dieses Beispiel (rechts) mit 6-zähliger Drehsymmetrie von Michael Hirschhorn illustriert mit A = 140°, B = 60°, C = 160°, D = 80°, E = 100°.[25]

2016 wurde durch Bernhard Klaassen gezeigt, dass jede Drehsymmetrie der Ebene durch eine monohedrale Parkettierung aus ein und derselben Klasse von Fünfecken repräsentiert werden kann.[26][27] Hier sind Beispiele für 5-zählige und 7-zählige Drehsymmetrie angegeben.

Zerlegungsprinzip für jede n-zählige Drehsymmetrie mit n>2
Fünfeck-Parkettierung mit 5-zähliger Drehsymmetrie
Fünfeck-Parkettierung mit 7-zähliger Drehsymmetrie

Parkettierung mit Fünfeck-Dualstrukturen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt drei isoedrische Fünfeck-Parkettierungen (d. h. Parkettierung mit ziegeltransitiver Symmetriegruppe), die aus Dualstrukturen der Grundform entstehen. Diese Parkettierungen verlaufen immer mit Kante auf Kante. Sie stellen Fälle höherer Symmetrie dar als die oben gezeigten 15 Parkettierungen.

Parkettierung mit kongruenten, konkaven Fünfecken in der Ebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sphinx-Parkettierung („reptile“)

Sind die kongruenten Fünfecke konkav (also nichtkonvex), d. h., mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°, sind weitere Parkettierungen möglich. Ein Beispiel dafür ist die sogenannte Sphinx-Parkettierung, eine aperiodische Parkettierung mit einem konkaven Fünfeck, das wiederum aus kleineren, identischen Kopien seiner selbst zusammengesetzt ist.[A 7]

Fünfeck-Parkettierung in der hyperbolischen Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Regelmäßige Fünfeck-Parkettierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dodekaeder

Ein Dodekaeder kann man als regelmäßige Parkettierung der Oberfläche einer Kugel mit 12 regelmäßigen Fünfecken verstehen. Das dazugehörige Schläfli-Symbol ist {5,3}, d. h., drei Fünfecke liegen aneinander und bilden jeweils eine Ecke.

Auf einer hyperbolischen Ebene gibt es unendlich viele Parkettierungen mit regelmäßigen Fünfecken, beispielsweise Parkettierung 4. Ordnung mit dem Schläfli-Symbol {5,4}, d. h., vier Fünfecke liegen aneinander und bilden jeweils eine Ecke. Höhere Ordnungen regelmäßiger Parkettierung {5,n} können in dieser Weise konstruiert werden, theoretisch bis {5,∞}.

Kugel Hyperbolische Ebene
Uniform tiling 532-t0.png
{5,3}
Uniform tiling 54-t0.png
{5,4}
Uniform tiling 55-t0.png
{5,5}
Uniform tiling 56-t0.png
{5,6}
Uniform tiling 57-t0.png
{5,7}
Uniform tiling 58-t0.png
{5,8}
…{5,∞}

Unregelmäßige Fünfeck-Parkettierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf einer hyperbolischen Ebene kann es unendlich viele dualstrukturale einheitliche Parkettierungen mit isogonalen unregelmäßigen fünfeckigen Flächen geben. Nach M. Cundy und A. Rollett werden sie mit V3.3.p.3.q beschrieben.[28]

Ordnungen p-q der pentagonalen Floret-Parkettierung
7-3 8-3 9-3 5-4 6-4 7-4 5-5
Ord7 3 floret penta til.png
V3.3.3.3.7
V3.3.3.3.8 V3.3.3.3.9 Order-5-4 floret pentagonal tiling.png
V3.3.4.3.5
V3.3.4.3.6 V3.3.4.3.7 V3.3.5.3.5

Physikalische Ergänzung: Quasikristalle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Physik ist die strikte Aussage bekannt, dass es zwar sechszählige Kristallstrukturen gibt, aber keine fünfzähligen. Deshalb war es eine Überraschung, und wurde 2011 mit einem Nobelpreis ausgezeichnet, als Dan Shechtman und Mitarbeiter 1984 fünfzählige Reflexe entdeckten, die sogenannten Quasikristallen zugeordnet sind, einer regelmäßig-unregelmäßigen Anordnung inkommensurabler Einheiten (Näheres bei den angegebenen Links).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • David Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin Books, London 1991, ISBN 0-14-011813-6.
  • David Klarner: Mathematical Recreations: A Collection in Honor of Martin Gardner. Dover Publications, Mineola 1998, ISBN 0-486-40089-1.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Parkettierung mit Fünfecken – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b c Karl Reinhardt: Über die Zerlegung der Ebene in Polygone. Inaugural-Dissertation, zur Erlangung der Doktorwürde der Hohen Naturwissenschaftlichen Fakultät der Königlichen Universität zu Frankfurt a. M., Robert Noske, Borna-Leipzig (1918). Bitte beachten: Auf S. 77 befindet sich ein Fehler. Die Winkelsumme γ + δ für die ersten beiden Parkettierungstypen muss π sein, und nicht 2π (wie angegeben).
  2. Eyder Peralta: With Discovery, 3 Scientists Chip Away At An Unsolvable Math Problem. Bei: NPR.org. 14. August 2015, abgerufen am 21. August 2015.
  3. a b M. D. Hirschhorn und D. C. Hunt: Equilateral convex pentagons which tile the plane. In: Journal of Combinatorial Theory. Series A, Bd. 39 (1), Mai 1985, S. 1–18.
  4. a b Olga Bagina: Мозаики из выпуклых пятиугольников. (Tilings of the plane with convex pentagons.) Vestnik (russ.) (2011), Band 4 (48), S. 63–73, ISSN 2078-1768.
  5. Olga Bagina: Tiling the plane with congruent equilateral convex pentagons. In: Journal of Combinatorial Theory. 2004, Band 105 (2), S. 221–232.
  6. Teruhisa Sugimoto: Convex pentagons for edge-to-edge tiling, I. Forma, Band 27 (1) (2012), S. 93–103.
  7. Bei 6 der 7 Klassen dieser seiner hier wörtlich zitierten »Einteilung der Fünfecke« auf S. 76 verwendet Reinhardt tatsächlich das Wort »verschieden«. Gemeint ist aber zweifellos »möglicherweise verschieden«, also bei R-I: »die Seitenverhältnisse sind beliebig«.
  8. Richard Kershner: On paving the plane. In: American Mathematical Monthly. Band 75, S. 839–844.
  9. George E. Martin: Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry.. Springer Science & Business Media, 13. April 1982, ISBN 978-0-387-90636-2, S. 126.
  10. M. Gardner: On Tessellating The Plane With Convex Polygon Tiles. In: Scientific American. Band 233 (1), S. 112–117, Munn & Company (1975).
  11. a b Doris Schattschneider: Tiling the Plane with Congruent Pentagons. In: Mathematics Magazine. Band 51 (1), S. 29–44 (1978).
  12. a b Alex Bellos: Attack on the pentagon results in discovery of new mathematical tile. In: TheGuardian.com. 11. August 2015, abgerufen am 10. September 2015.
  13. a b Doris Schattschneider: A new pentagon tiler. In: Mathematics Magazine. Band 58 (5), S. 308 (1985). Diese neue Fünfeck-Parkettierung zierte auch die Vorderseite des Mathematics Magazine.
  14. Michele Emmer, Doris Schattschneider: M.C. Escher’s Legacy: A Centennial Celebration.. Springer, 8. Mai 2007, ISBN 978-3-540-28849-7, S. 244–251.
  15. Roses von Marjorie Rice.
  16. Fishes von Marjorie Rice.
  17. Butterflies von Marjorie Rice.
  18. Ivars Peterson: Tiling with Pentagons. In: The Mathematical Tourist. 5. Juni 2010, abgerufen am 14. September 2015.
  19. Derrick Niederman: Number Freak: From 1 to 200 – The Hidden Language of Numbers Revealed.. Penguin Publishing Group, 4. August 2009, ISBN 978-1-101-13548-8, S. 83.
  20. Robert Gast: Das magische Pentagon. In: Sueddeutsche.de. 12. August 2015, abgerufen am 14. September 2015.
  21. Eyder Peralta: With Discovery, 3 Scientists Chip Away At An Unsolvable Math Problem. In: NPR.org. 14. August 2015, abgerufen am 11. September 2015.
  22. Casey Mann: 15th Pentagon. In: reddit.com. 1. August 2015, abgerufen am 14. September 2015.
  23. Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem. Bei: quantamagazine.org. 11. Juli 2017, abgerufen am 13. Juli 2017.
  24. 100 Jahre altes Matherätsel. Das Ende der Fünfeck-Saga. Bei: spektrum.de. 13. Juli 2017, abgerufen am 13. Juli 2017.
  25. Doris Schattschneider: Tiling the Plane with Congruent Pentagons. In: Mathematics Magazine. 1978, Fig. 12.
  26. Bernhard Klaassen: Rotationally symmetric tilings with convex pentagons and hexagons. In: Elemente der Mathematik. 71, Nr. 4, 2016, ISSN 0013-6018, S. 137–144. doi:10.4171/em/310.
  27. Bernhard Klaassen: Rotationally Symmetric Tilings with Convex Pentagons and Hexagons. In: arXiv [math]. 2016. arxiv:1509.06297.
  28. M. und A. Rollett: Mathematical Models. Tarquin Pub., Stradbroke (England) 1952 (3. Ausgabe 1989), 3.7 The Archimedean Polyhedra. S. 101–115 und S. 118–119, Tabelle I, Nets of Archimedean Duals. V.a.b.c… as vertically-regular symbols.

Kommentare[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Dreiecke mit geraden Linien sind immer konvex.
  2. Die Geschlossenheit des gleichseitigen Polygonzugs erfordert:
    und
    .
    Daraus ergibt sich nach den Einsetzungen zunächst und schließlich für
    .
  3. a b c d Erklärungen zu der Tabelle:
    • Die erste Zeile bezeichnet den Typ des Fünfecks.
    • Die zweite Zeile bezeichnet die ebene kristallographische Gruppe (oder Ornamentgruppe) dieses Typs.
    • Die dritte Zeile zeigt eine Parkettierung mit diesem Fünfeck-Typ.
    • Die vierte Zeile charakterisiert ein Fünfeck des zu definierenden Typs durch lineare Gleichungen von Seitenverhältnissen resp. von Winkeln: Alle Fünfecke, die die darunter stehenden Bedingungen erfüllen, gehören zum Typ. Die maximal sechs Bedingungen definieren keine Kongruenz, sondern höchstens Ähnlichkeit. Sind es weniger als sechs unabhängige Bedingungen, dann gehören auch unähnliche Fünfecke zum selben Typ.
    • Die fünfte Zeile zeigt ein aus mehreren Fünfecken dieses Typs zusammengesetztes Kachelmuster, aus dem sich die Parkettierung ausschließlich durch Translationen herstellen lässt.
    • Die sechste Zeile ordnet den entsprechenden Typ einer der sieben Reinhardt-Klassen zu.
    • Die letzte Zeile nennt ggf. den/die Entdecker des Typs.
  4. Diese zweite Beziehung ist wegen der Gesamtwinkelsumme von 540° eine unmittelbare Folge der ersten. Im Ergebnis lässt dieser Typ fünf Freiheitsgrade, bspw. drei Winkel und zwei Seitenverhältnisse.
  5. In Englisch Cairo tiling; diese Art der Pflasterung trägt diesen Namen seit 1971 und kann tatsächlich an mehreren Orten in Kairo gefunden werden, wie auf David Bailey’s World of Escher-like Tessellations dokumentiert wird.
  6. Die Benennung macht Referenz auf das Muster, das wie eine 6-blättrige Blüte aussieht.
  7. Diese geometrischen Formen, die aus kleineren Formen ihrer selbst zusammengesetzt sind, werden – eingeführt durch Solomon W. Golomb (Replicating Figures in the Plane. In: The Mathematical Gazette. Band 48, Nr. 366 (1964), S. 403–412) – im Englischen rep-tile oder reptile genannt, ein Wortspiel mit dem Begriff repetitive tile ‚sich wiederholende Kachel‘.