Partialbruchzerlegung

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Die Partialbruchzerlegung oder Partialbruchentwicklung ist eine standardisierte Darstellung rationaler Funktionen. Sie wird in der Mathematik verwendet, um die Rechnung mit solchen Funktionen zu erleichtern. Insbesondere kommt sie bei der Integration der rationalen Funktionen zur Anwendung.

Hier liegt die Tatsache zugrunde, dass jede rationale Funktion als Summe einer Polynomfunktion und Brüchen der Form

dargestellt werden kann. Die sind dabei die Polstellen der Funktion.

Werden die Polstellen als bekannt vorausgesetzt, so ist die Bestimmung der Zähler die eigentliche Aufgabe der Partialbruchzerlegung.

Bei reellwertigen Funktionen müssen die Polstellen und infolgedessen auch die Zahlen nicht unbedingt reell sein, denn die reellen Zahlen sind nicht algebraisch abgeschlossen. Man kann das Rechnen mit komplexen Zahlen aber vermeiden, weil mit jeder komplexen Nullstelle auch die konjugiert komplexe Zahl Nullstelle ist.

Statt und verwendet man dann einen Term , wobei eine reelle quadratische Form ist und auch und reell sind.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Partialbruchzerlegung wurde ab 1702 in Arbeiten zur Infinitesimalrechnung von Gottfried Wilhelm Leibniz und Johann Bernoulli entwickelt. Beide Gelehrten nutzen diese Methode zur Integration von gebrochenrationalen Funktionen. Da zu dieser Zeit der Fundamentalsatz der Algebra noch nicht bewiesen war – er wurde damals aber schon vermutet –, behauptete Leibniz, dass es für das Nennerpolynom keine Partialbruchzerlegung gebe. Johann Bernoulli schloss sich dieser Meinung nicht an. Dieses Beispiel wurde in den Folgejahren von verschiedenen Mathematikern diskutiert und um 1720 erschienen mehrere Arbeiten, die das Beispiel als fehlerhaft nachwiesen und das (unbestimmte) Integral

korrekt berechneten.[1]

Verfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Partialbruchzerlegung einer reellen rationalen Funktion wird in mehreren Schritten bestimmt:

  1. Man vergleicht den Grad des Zählers mit dem des Nenners von :
    • Ist der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad, so dividiert man den Zähler durch den Nenner. Man erhält daraus das Polynom und möglicherweise eine rationale Restfunktion , sodass gilt: .
      • Ist , ist das Verfahren abgeschlossen.
      • Andernfalls hat der Zähler von einen kleineren Grad als der Nenner . Man arbeitet dann nur mehr mit der Restfunktion weiter.
    • Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, so kann man die Funktion direkt betrachten. Um im Folgenden eine einheitliche Bezeichnungsweise zu ermöglichen, setzen wir in diesem Fall .
  2. Anschließend betrachtet man die Nullstellen von . Abhängig von der Art der Nullstellen wird ein geeigneter Ansatz verwendet.
  3. Die Konstanten , und erhält man dann zum Beispiel durch Koeffizientenvergleich nach Multiplikation der Zerlegung mit dem Nennerpolynom.

Die beiden letzten Schritte sollen nun im Detail erläutert werden.

Ansatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vorausgesetzt wird hier, dass in der Form gegeben ist, wobei der Grad von kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist und sämtliche Nullstellen von bekannt sind. Sind, wie oben angenommen, die verschiedenen Nullstellen und ihr jeweiliger Grad bekannt, so kann das Nennerpolynom auf folgende Form gebracht werden:

Zu beachten ist, dass einige der komplex sein können.

Der Ansatz ist nun folgendermaßen aufgebaut:

  • Für jede einfache reelle Nullstelle enthält das Nennerpolynom einen Summanden .
  • Für jede -fache reelle Nullstelle enthält das Nennerpolynom Summanden .

Da reell ist, gehört zu jeder komplexen Nullstelle notwendigerweise auch die konjugiert komplexe Nullstelle . Sei das quadratische Polynom mit den Nullstellen und , also .

  • Für jede einfache komplexe Nullstelle enthält der Ansatz nun einen Summanden .
  • Entsprechend enthält der Ansatz für jede -fache komplexe Nullstelle (und die zugehörige, ebenfalls -fache, konjugiert komplexe Nullstelle ) die Terme .

Jeder Ansatz enthält somit genau unbekannte Koeffizienten .

Bestimmung der Konstanten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um die Konstanten , und zu ermitteln, wird mit dem Ansatz gleichgesetzt und diese Gleichung mit dem Nennerpolynom multipliziert.

Auf der einen Seite der Gleichung steht dann nur noch das Zählerpolynom , auf der anderen ein Ausdruck mit allen Unbekannten, der ebenfalls ein Polynom in ist und entsprechend nach den Potenzen von geordnet werden kann. Ein Koeffizientenvergleich der linken und rechten Seite ergibt dann ein lineares Gleichungssystem, aus dem sich die unbekannten Konstanten berechnen lassen. Alternativ kann man bis zu beliebige verschiedene Werte für in diese Gleichung einsetzen, was wie der Koeffizientenvergleich zu einem aus Gleichungen bestehenden linearen Gleichungssystem führt. Sinnvoll ist das Einsetzen der zuvor berechneten (reellen) Nullstellen, was sofort jeweils einen Koeffizientenwert liefert.

Diese beiden Möglichkeiten können auch kombiniert werden.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einfache Polstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei die rationale Funktion

.

Es gibt zwei einfache Polstellen und . Der Ansatz lautet also

,

wobei und unbekannte, noch zu ermittelnde Konstanten sind. Multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit , erhält man

.

Sortiert man die rechte Seite nach Gliedern mit und Gliedern ohne , so ergibt sich

.

Koeffizientenvergleich: Der Koeffizient von ist Eins: und das absolute Glied Null: . Hieraus lässt sich berechnen: Die gesuchte Partialbruchzerlegung ist also

Doppelte Polstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei die rationale Funktion

.

Mittels Polynomdivision und Faktorenzerlegung des Nenners folgt

.

Die einzige, allerdings doppelte Nullstelle des Nenners ist . Ansatz:

Koeffizientenvergleich:

Lösung:

,

also erhalten wir die Partialbruchzerlegung

.

Komplexe Polstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei die rationale Funktion

.

Der Nenner hat hier die reelle Nullstelle , die komplexe Nullstelle und deren konjugiert komplexe . Das quadratische Polynom mit den Nullstellen und ist

Ansatz:

Koeffizientenvergleich:

Lösung:

,

Partialbruchzerlegung:

.

Der Hauptsatz über Partialbruchzerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reellwertige Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede rationale Funktion mit den verschiedenen reellen Polstellen der Ordnung und den bis auf Konjugation verschiedenen komplexen Polstellen der Ordnung hat eine eindeutig bestimmte Darstellung

mit einer Polynomfunktion und reellen Konstanten , und . Diese wird die Partialbruchzerlegung (abgekürzt PBZ) von genannt.

Die Brüche heißen Partial- oder Teilbrüche 1. Art, die Brüche Partial- oder Teilbrüche 2. Art.

Komplexwertige Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede rationale Funktion mit den verschiedenen Polstellen der Ordnung hat eine eindeutig bestimmte Darstellung

mit einer Polynomfunktion und komplexen Konstanten .

Dieser Satz lässt sich für Polynome über jedem anderen algebraisch abgeschlossenen Schiefkörper verallgemeinern.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Partialbruchzerlegung wird unter anderem zum Integrieren rationaler Funktionen benutzt. Da die Integrale sämtlicher Partialbrüche bekannt sind, ist die Integration immer möglich, wenn sich die Polstellen der betrachteten Funktion angeben lassen.[2]

Des Weiteren wird die Partialbruchzerlegung bei der Laplace- und der z-Transformation verwendet. Die Transformierten der einzelnen Partialbrüche können in Tabellen nachgeschlagen werden. Somit erspart man sich eine analytische Berechnung, wenn der zu transformierende Term in entsprechende Summanden zerlegt werden kann.

Integration der Partialbrüche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beim Auffinden der Stammfunktionen von Partialbrüchen lassen sich sechs Fälle unterscheiden, je nachdem, ob der Zählergrad 0 oder 1 ist, ob die Nullstellen des Nenners reell oder nicht reell sind und ob sie einfach oder mehrfach sind.

Partialbrüche mit reellen Nullstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei Partialbrüchen mit reellen Nullstellen gibt es zwei Fälle, da der Zähler nur den Grad 0 haben kann.

Damit ergibt sich bei reellen und einfachen Nullstellen

und bei reellen und mehrfachen Nullstellen

.

Partialbrüche mit komplexen Nullstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei Partialbrüchen mit komplexen Nullstellen gibt es vier Fälle, da der Zählergrad sowohl 0 als auch 1 sein kann.

Damit ergibt sich bei komplexen und einfachen Nullstellen und Zählergrad 0

.

Der Fall mit komplexen und einfachen Nullstellen und Zählergrad 1 lässt sich auf (3) zurückführen

.

Für die beiden Fälle mit mehrfachen Nullstellen lassen sich nicht direkt Stammfunktionen bestimmen, es lassen sich jedoch Rekursionsvorschriften finden. Damit ergibt sich für den Fall mit komplexen und mehrfachen Nullstellen und Zählergrad 0

.

Der Fall mit komplexen und mehrfachen Nullstellen und Zählergrad 1 lässt sich auf (5) zurückführen

.

Laurent-Reihenentwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist für jede Polstelle eine Laurent-Reihenentwicklung der Funktion bekannt, so erhält man die Partialbruchzerlegung sehr einfach als Summe der Hauptteile dieser Laurent-Reihen. Dieser Weg steht im Zusammenhang mit dem Residuenkalkül.

Verallgemeinerung auf rationalen Funktionenkörper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Partialbruchzerlegung lässt sich für einen Körper auf den rationalen Funktionenkörper verallgemeinern. Bezeichnet man die normierten irreduziblen Polynome im Polynomring mit , so sind die rationalen Funktionen der Form mit linear unabhängig und bilden mit den Monomen eine -Basis des -Vektorraums [3] .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Heinz-Wilhelm Alten: 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43554-9, S. 285–286.
  2. Christoph Bock: Elemente der Analysis (PDF; 1,2 MB) Abschnitt 8.35
  3. Scheja, Storch: Lehrbuch der Algebra. 1988, S.148