Peano-Kurve

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Die Peano-Kurve (nach Giuseppe Peano) ist eine raumfüllende Kurve (FASS-Kurve).

Sie ist definiert als der Grenzwert einer Folge von Kurven, die schrittweise konstruiert werden können.

Im zweidimensionalen Fall ist ein Beispiel für eine Peanokurve das folgende: Man beginnt mit der Unterteilung eines Quadrats in neun gleich große Quadrate, die in einer S-Kurve durchlaufen werden. Im nächsten Schritt wird jedes dieser Quadrate wieder unterteilt und die entstehenden Quadrate in S-Kurven durchlaufen, die als neue Kurve zusammengehängt werden:

Peano curve shaded.svg

Skaliert man die Kurven auf dieselbe Größe, erhält man als erste vier Schritte:

Peano curve.png

Setzt man dieses Verfahren der Rekursion fort, erhält man eine Folge von Kurven, die punktweise konvergiert.

Als Grenzwert erhält man die Peano-Kurve, auf der jeder Punkt des Ausgangsquadrats liegt und die unendlich lang ist.

Dieses Verfahren lässt sich leicht auf höhere Dimensionen verallgemeinern. Auch liefert eine stetige surjektive Abbildung f\colon I\to I^2 (mit I=[0,1]) wiederum stetige und surjektive Abbildungen f\times\operatorname{id}_{I^{n-1}}\colon I^n\to I^{n+1}, und durch Verkettung erhält man eine stetige Surjektion I\to I^n für jede natürliche Zahl n.

Weitere Peano-Kurven[Bearbeiten]

Es existiert auch noch eine weitere, flächenfüllende Kurve, die als Peano-Kurve bekannt ist. Ihre Struktur entspricht der Cantor-Diagonalisierung. Dabei wird eine Strecke zwischen zwei Punkten durch das Gebilde der ersten Stufe ersetzt.

Peano 1.GIF Peano 2.GIF
Peano-Kurve der ersten Stufe Peano-Kurve der zweiten Stufe

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Peano-Kurve – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien