Pell-Folge

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Die Pell-Folge ist eine mathematische Folge von positiven ganzen Zahlen, der Pell-Zahlen (engl. Pell numbers), genauso wie die Pell-Zahlen 2. Art (engl. companion Pell numbers). Ihren Namen hat sie von dem englischen Mathematiker John Pell (1611–1685).

Pell Folge/Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Folge ist rekursiv definiert durch:

Das bedeutet in Worten:

  • für die beiden ersten Zahlen werden die Werte Null und Eins vorgegeben
  • jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgängers und anschließende Addition des Vorvorgängers.

Die ersten Zahlen der Folge lauten 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, ... (Folge A000129 in OEIS)

Die Pell-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas-Folge Un(P,Q) mit P=2 und Q=-1 interpretieren:

Silberner Schnitt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Grenzwert des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Zahlen der Pell-Folge gilt:

Diese Zahl nennt man Silberner Schnitt in Analogie zum Goldenen Schnitt der Fibonacci-Folge

Herleitung des Zahlenwertes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es ist folgender Grenzwert zu bestimmen:

Mit folgt:

Mit

folgt weiter: . Damit ergibt sich die quadratische Gleichung

mit den beiden Lösungen     und  

Da von diesen beiden Werten nur der positive für den Grenzwert in Frage kommt, folgt:

Geschlossene Form der Pell-Folge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Abschnitt Herleitung des Zahlenwertes wurde für die Grenzwerte des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Zahlen der Pell-Folge gezeigt:

   und   .

Seien und reelle Konstanten. Dann erfüllen die geometrischen Folgen

  und

die Rekursionsformeln

  und  
   .

Deren Linearkombination    erfüllt ebenfalls die Pell-Rekursion.

Für die Pell-Folge müssen folgende Anfangswerte gelten:    und    .

Eingesetzt in         ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

   und  

mit den Lösungen    und  

Damit ergibt sich die geschossene Form der Pell-Folge:

Erzeugende Funktion der Pell-Folge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die erzeugende Funktion der Pell-Folge ist:

Diese Potenzreihe hat den Konvergenzradius .

Herleitung der Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die erzeugende Funktion der Pell-Folge hat den Konvergenzradius .

Für gilt daher mit :

Pell Zahlen 2. Art/ Companion Pell-Folge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Pell Zahlen 2. Art werden auch Pell-Lucas Zahlen genannt.

Die Folge ist rekursiv definiert durch:

Das bedeutet in Worten:

  • für die beiden ersten Zahlen wird der Wert Zwei vorgegeben
  • jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgängers und anschließende Addition des Vorvorgängers.

Die ersten Zahlen der Folge lauten 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, ... (Folge A002203 in OEIS)

Die Companion Pell-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas-Folge Vn(P,Q) mit P=2 und Q=-1 interpretieren: