Pellsche Gleichung

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Pellsche Gleichung für d = 2 und sechs ganzzahlige Lösungen

Als Pellsche Gleichung (nach John Pell, 1611−1685) bezeichnet man eine diophantische Gleichung der Form

mit positiv ganzzahligem .

Ist eine Quadratzahl, so besitzt die Gleichung offenbar nur die trivialen Lösungen . Andernfalls gibt es unendlich viele Lösungen, die man mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung von bestimmen kann. Die verwandten Gleichungen und werden oft ebenfalls Pellsche Gleichungen genannt.

Die Gleichung wird John Pell fälschlicherweise zugeschrieben. Korrekter wäre die Bezeichnung Fermatsche Gleichung.[1]

Algebraische Zahlentheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Auffinden aller Lösungen ist für spezielle äquivalent dazu, die Einheiten des Ganzheitsrings des reellquadratischen Zahlkörpers zu finden. Nach dem Dirichletschen Einheitensatz hat die Einheitengruppe den Rang 1, d. h. es gibt eine Fundamentaleinheit (oder auch Grundeinheit) mit der sich alle Lösungen als darstellen lassen.

Lösungsmöglichkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösung mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kettenbruchentwicklung einer quadratisch irrationalen Zahl ist unendlich und periodisch. Zum Beispiel hat die Kettenbruchentwicklung

Bricht man die Entwicklung jeweils an der Stelle ab, so erhält man beginnend mit

und findet an den Stellen und die Lösungen

von und

von .

Weiter stellt man fest, dass für jedes Element der abgebrochenen Kettenbruchentwicklung der Länge eine Lösung einer Pellschen Gleichung mit rechter Seite ist.

Generieren weiterer Lösungen auf Basis einer bekannten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Lösung bekannt, so lassen sich weitere Lösungen mit einer Matrizenmultiplikation bestimmen. Es gilt

Beispiel

Die Pellsche Gleichung für hat die Minimallösung . Die nächsten Lösungen ergeben sich dann zu

usw.

Das Rinderproblem des Archimedes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Lösung des Rinderproblems des Archimedes stößt man (wenn man geschickt rechnet)[2] auf die Pellsche Gleichung zum Parameter , die als Minimallösung

hat. Für das Rinderproblem braucht man allerdings nicht die Minimallösung, sondern eine (genauer: die kleinste) Lösung, bei der ein Vielfaches von ist.

Alternativ dazu kann man für die Pellsche Gleichung mit Parameter die Minimallösung (jetzt ohne Nebenbedingung) suchen, die von folgender Größenordnung ist (vgl. o.g. Quelle):

Nicht zufällig ist 2 · 3,7653 · 10103272 ≈ (2 · 1,0993199 · 1044)2329, wodurch numerisch der Zusammenhang zwischen den Minimallösungen der beiden Pellschen Gleichungen hergestellt ist.

Für das Rinderproblem selbst ist als Zwischenergebnis die Zahl 4657 · 957 · y2 ≈ 1,5401 · 10206537 von Belang. Das Endergebnis ist das 50.389.082-fache davon, also ca. 7,760 · 10206544.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • H. W. Lenstra Jr.: Solving the Pell Equation, Notices of the American Mathematical Society 49 (2), 2002, 182-192, online (PDF; 237 kB).
  • M.J.Jacobson Jr.,H.C.Williams: Solving the Pell Equation,CMS Books in Mathematics, Springer 2009, ISBN 978-0-387-84922-5

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Siehe Artikel von H. W. Lenstra Jr.
  2. Siehe Artikel von H. W. Lenstra Jr.