Pentagonalzahlensatz

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Der Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler[1] ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie und Zahlentheorie bzw. Kombinatorik.

Der Satz lautet: Als formale Potenzreihe in gilt

Damit gilt die Gleichung insbesondere für komplexe Zahlen im Falle der absoluten Konvergenz, also . Die Exponenten sind für gerade die Pentagonalzahlen. Explizit lautet die Formel

Insbesondere tauchen auf der rechten Seite ausschließlich die Koeffizienten +1, −1 und 0 auf (Folge A010815 in OEIS).

Die Bedeutung des Pentagonalzahlensatzes für die Funktionentheorie liegt darin, dass die linke Seite bis auf den Faktor die -Entwicklung der Dedekind'schen η-Funktion ist.

Die Aussage des Pentagonalzahlensatzes erlaubt auch eine kombinatorische Interpretation: Es bezeichne die Anzahl der Zahlpartitionen von in eine gerade Anzahl von verschiedenen Summanden und die Anzahl der Zahlpartitionen in eine ungerade Anzahl von verschiedenen Summanden. Dann ist der -te Koeffizient der obigen Reihe.

Die Identität des Pentagonalzahlensatzes ist ein Spezialfall des Jacobi-Tripelprodukts.

Beweise gaben neben Euler unter anderem Carl Gustav Jacobi und einen kombinatorischen Beweis gab 1881 F. Franklin (dargestellt im Zahlentheorie-Lehrbuch von Godfrey Harold Hardy und E. M. Wright).

Rekursionsrelationen für die Partititonsfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach Euler ist die erzeugende Funktion der Partitionen :

oder

Entwicklung des unendlichen Produkts als Potenzreihe gemäß dem Pentagonalzahlensatz ergibt:

,

wobei die Koeffizienten aus dem Pentagonalzahlensatz folgen (sie haben die Werte ):

Eingesetzt ergibt dies

.

Dass lässt sich auch so ausdrücken, dass die diskrete Faltung der Koeffizienten mit der Folge der Partitionszahlen Eins ergibt.

Mit ergibt sich durch Vergleich der Koeffizienten der einzelnen Potenzen

für alle . Daraus lassen sich die aus den rekursiv bestimmen. Es folgt wenn der Term aus der Summe herausgezogen wird und die eingesetzt werden:

mit der k-ten Pentagonalzahl (k kann auch negativ sein). Explizit lauten die ersten Terme:

Diese Formeln dienten Percy Alexander MacMahon dazu, Werte der Partitionsfunktion bis n=200 zu berechnen.[2]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Hardy, Wright, An introduction to the theory of numbers, Clarendon Press 1975 (Kapitel 19: Partitions)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Veröffentlicht in den Abh. der Petersburger Akademie für 1780 (erschienen 1783), von Euler 1775 der Akademie vorgetragen. Eneström-Index der Eulerschen Werke 541
  2. Hardy, Wright, An introduction to the theory of numbers, Clarendon Press 1975, S. 286