Pentagonalzahlensatz

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Der Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie.

Der Satz lautet: Als formale Potenzreihe in gilt

Damit gilt die Gleichung insbesondere für komplexe Zahlen im Falle der absoluten Konvergenz, also . Die Exponenten sind für gerade die Pentagonalzahlen. Explizit lautet die Formel

Insbesondere tauchen auf der rechten Seite ausschließlich die Koeffizienten +1, −1 und 0 auf (Folge A010815 in OEIS).

Die Bedeutung des Pentagonalzahlensatzes für die Funktionentheorie liegt darin, dass die linke Seite bis auf den Faktor die -Entwicklung der Dedekind'schen η-Funktion ist.

Die Aussage des Pentagonalzahlensatzes erlaubt auch eine kombinatorische Interpretation: Es bezeichne die Anzahl der Zahlpartitionen von in eine gerade Anzahl von verschiedenen Summanden und die Anzahl der Zahlpartitionen in eine ungerade Anzahl von verschiedenen Summanden. Dann ist der -te Koeffizient der obigen Reihe.

Die diskrete Faltung der Koeffizienten mit der Folge der Partitionszahlen ergibt Eins.

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