Periodogramm

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Das Periodogramm ist ein Schätzer für die Spektraldichte eines Signals. Gesucht ist also eine Funktion , welche die Verteilung der Leistung (oder Energie) des Signals auf die Kreisfrequenz angibt. Der Ausdruck wurde von Arthur Schuster 1898 geprägt.[1] Die Methode wird eingesetzt in der Signalverarbeitung, Elektrotechnik und Physik. Ein wichtiges Beispiel sind Spektrum-Analysatoren. Im mathematischen Sinn ist das Periodogramm ein nicht konsistenter Schätzer.

Kontext und Konventionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Regel sind nur Abtastwerte des Signals zu diskreten Zeitpunkten gegeben, und man beschränkt sich zur Abschätzung auf Abtastwerte, zum Beispiel . Ein wesentlicher Schritt des Verfahrens ist eine diskrete Fourier-Transformation. Die Einschränkung der Fourier-Transformation auf Intervalle der Länge lässt sich erreichen durch Multiplikation des Signals mit einer Fensterfunktion . Im einfachsten Fall ist eine Rechteckfunktion der Länge . Um Artefakte im Spektrum zu verringern werden jedoch in der Regel Fenster mit langsameren Änderungen verwendet, die alle eigene Namen haben, wie beispielsweise das „Parzen-Fenster“ oder das „Welch-Fenster“. Man spricht dann von einem modifizierten Periodogramm.[2] Für die diskrete Fouriertransformierte des Signals wird die Schreibweise verwendet. Hierbei sind nur Kreisfrequenzen mit zulässig.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Periodogramm ist definiert gemäß

Den Normierungsfaktor betreffend gibt es verschiedene Konventionen. Eine wichtige Kenngröße hierbei ist das mittlere Amplitudenquadrat (die mittlere Leistung) des Signals. Die Normierung ist so gewählt, dass der Mittelwert von bestmöglich mit übereinstimmt. In Übereinstimmung mit dem Abtasttheorem ist das Periodogramm -periodisch. Man beschränkt sich daher auf ein Intervall (Brillouin-Zone) oder .

Falls die Amplitude des Signals digitalisiert ist und Maximalwert hat, ist das Periodogramm auch relativ zum Maximum normierbar (Fullscale). Das Maximum wird für monochromatische Signale erreicht, das Full-Scale Periodogramm ist

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weißes Rauschen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein weißes Rauschen mit Varianz , . Das Ensemble-Mittel des Betragsquadrats der Fourier-Transformierten ist dann

Das Periodogramm hat den Mittelwert , und zwar unabhängig von der Fensterlänge. Alle Frequenzen geben denselben Energiebeitrag.

Konstantes Signal[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Frequenz-Mittelwert von lassen sich allgemeine Aussagen machen. Ausgangspunkt ist

Für konstantes Signal wird

Der Mittelwert des Periodogramms ist (unabhängig von ) ebenfalls . Das Periodogramm liefert bei konstantem Signal einen Peak bei Frequenz . Mit wachsendem wird dieser Peak höher und schmäler.

Rechteck-Fenster[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Fall eines Rechteck-Fensters gilt die Parseval-Gleichung . Durch Division durch folgt der Mittelwert des Periodogramms . Dieser Wert ist von unabhängig, sofern dies für das mittlere Amplitudenquadrat gilt.

Einschränkungen und Verbesserungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zahl der Werte im Periodogramm wächst mit der Fensterlänge , die Werte werden dabei jedoch nicht genauer. Im Fall eines weißen Rauschens mit Amplitude bleibt die Varianz der Periodogramm-Werte bei wachsender Fensterlänge von der Größenordnung .[3] Abhilfe schafft eine Mittelung benachbarter Werte oder eine Mittelung über mehrere Periodogramme.[2]

Kontinuierliches Signal[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ein auf dem Zeit-Kontinuum definiertes Signal ist die Fourier-Transformierte des Produktes von Signal und Fensterfunktion

Das Periodogramm ist

Wie beim abgetasteten Signal bleibt die Standardabweichung der Periodogramm-Werte bei wachsender Zeitreihenlänge im ungünstigsten Fall von derselben Größenordnung wie die Werte selber.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Schuster, Arthur: On the investigation of hidden periodicities with application to a supposed 26 day period of meteorological phenomena, Terrestrial Magnetism and Atmospheric Electricity, 3, S. 13–41, 1898
  2. a b William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, Michael Metcalf: Numerical Recipes in C. Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43108-5.
  3. Monson H. Hayes: Statistical Digital Signal Processing an Modeling. John Wiley & sons, inc., 1996, ISBN 978-0-471-59431-4.