Die Plastische Zahl
ρ
{\displaystyle \rho }
Plastikzahl ) ist eine mathematische Konstante . Sie ist die eindeutige reelle Lösung der kubischen Gleichung
x
3
−
x
−
1
=
0
{\displaystyle x^{3}-x-1=0}
Es gilt[1]
ρ
=
108
+
12
69
3
+
108
−
12
69
3
6
=
2
3
3
cosh
[
1
3
arcosh
(
3
2
3
)
]
{\displaystyle \rho ={\frac {{\sqrt[{3}]{108+12{\sqrt {69}}}}+{\sqrt[{3}]{108-12{\sqrt {69}}}}}{6}}={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\cosh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}\right)\right]}
Als Dezimalzahl beginnt die Plastische Zahl mit 1,324 717 957 244 746 025 960 908 854 … (Folge A060006 in OEIS ).
Die Definition der Plastischen Zahl geht auf den niederländischen Architekten Hans van der Laan zurück[2] Plastikzahl ist irreführend und entspricht nicht der Intention van der Laans, denn nicht das Material Plastik , sondern die räumliche Ausdehnung (in der Architektur) war bestimmend für die Namensgebung „plastisch“ [3]
Die beiden konjugiert komplexen Lösungen von
x
3
−
x
−
1
=
0
{\displaystyle x^{3}-x-1=0}
sind
(
−
1
2
±
3
2
i
)
1
2
+
1
6
23
3
3
+
(
−
1
2
∓
3
2
i
)
1
2
−
1
6
23
3
3
≈
−
0,662
6
±
0,562
3
i
{\displaystyle \left(-{\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\mp {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}\approx -0{,}6626\pm 0{,}5623i}
und lassen sich ebenfalls durch die Plastische Zahl
ρ
{\displaystyle \rho }
−
1
2
ρ
±
i
2
3
ρ
2
−
4
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}\rho \pm {\frac {i}{2}}{\sqrt {3\rho ^{2}-4}}}
Da das Produkt der drei Lösungen der kubischen Gleichung gleich 1 ist, ist der Betragswert der komplexen Lösungen gleich
ρ
−
1
/
2
≈
0,868
83696183
{\displaystyle \rho ^{-1/2}\approx 0{,}86883696183}
A191909 in OEIS ).
Die Plastische Zahl ist der Grenzwert der Quotienten sukzessiver Folgenglieder der Padovan-Folge [1]
ρ
=
lim
n
→
∞
P
n
P
n
−
1
{\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}}
Für folgende Gleichung aus vollständigen elliptischen Integralen erster Art lässt sich die Lösung vereinfacht mit der plastischen Zahl darstellen:
K
(
1
−
x
2
)
/
K
(
x
)
=
23
{\displaystyle K({\sqrt {1-x^{2}}})/K(x)={\sqrt {23}}}
x
=
λ
∗
(
23
)
=
1
16
2
(
5
+
23
)
[
2
3
+
1
6
(
3
+
1
)
100
−
12
69
3
−
1
6
(
3
−
1
)
100
+
12
69
3
]
4
=
{\displaystyle x=\lambda ^{*}(23)={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}(5+{\sqrt {23}})\left[{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{100-12{\sqrt {69}}}}-{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}-1){\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69}}}}\right]^{4}=}
=
1
16
2
(
5
+
23
)
[
ρ
2
−
(
9
ρ
2
−
2
ρ
−
6
)
/
23
]
4
=
sin
[
1
2
arcsin
(
1
8
ρ
−
12
)
]
{\displaystyle ={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}(5+{\sqrt {23}})[\rho ^{2}-(9\rho ^{2}-2\rho -6)/{\sqrt {23}}]^{4}=\sin \left[{\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {1}{8}}\rho ^{-12}\right)\right]}
Dieser Wert ist der elliptische Lambda-Funktionswert von 23.
Aus diesem Resultat folgt:
λ
∗
(
1
23
)
=
cos
[
1
2
arcsin
(
1
8
ρ
−
12
)
]
{\displaystyle \lambda ^{*}\left({\frac {1}{23}}\right)=\cos \left[{\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {1}{8}}\rho ^{-12}\right)\right]}
λ
∗
(
92
)
=
tan
[
1
4
arcsin
(
1
8
ρ
−
12
)
]
2
{\displaystyle \lambda ^{*}(92)=\tan \left[{\frac {1}{4}}\arcsin \left({\frac {1}{8}}\rho ^{-12}\right)\right]^{2}}
λ
∗
(
4
23
)
=
tan
[
π
4
−
1
4
arcsin
(
1
8
ρ
−
12
)
]
2
{\displaystyle \lambda ^{*}\left({\frac {4}{23}}\right)=\tan \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arcsin \left({\frac {1}{8}}\rho ^{-12}\right)\right]^{2}}
Die plastische Zahl selbst kann auch mit dem Bringschen Radikal dargestellt werden:
ρ
3
−
ρ
−
1
=
0
{\displaystyle \rho ^{3}-\rho -1=0}
(
ρ
2
−
ρ
+
1
)
(
ρ
3
−
ρ
−
1
)
=
0
{\displaystyle (\rho ^{2}-\rho +1)(\rho ^{3}-\rho -1)=0}
ρ
5
−
ρ
4
−
1
=
0
{\displaystyle \rho ^{5}-\rho ^{4}-1=0}
(
1
/
ρ
)
5
+
(
1
/
ρ
)
−
1
=
0
{\displaystyle (1/\rho )^{5}+(1/\rho )-1=0}
ρ
=
1
B
R
(
1
)
{\displaystyle \rho ={\frac {1}{BR(1)}}}
Denn grundsätzlich gilt für das Bringsche Radikal:
B
R
(
x
5
+
x
)
=
x
{\displaystyle BR(x^{5}+x)=x}
Das Bringsche Radikal[4] Erland Samuel Bring benannt und ein bekanntes Lösungsverfahren für quintische Gleichungen in Bring-Jerrard-Form.
↑ a b Eric W. Weisstein : Plastic Constant MathWorld ↑ Richard Padovan presents the plastic number Nexus Network Journal ↑ Dom H. van der Laan: Der Architektonische Raum. Leiden 1992.
↑ Bring radical - formulasearchengine. Abgerufen am 16. Oktober 2021 .
![{\displaystyle \rho ={\frac {{\sqrt[{3}]{108+12{\sqrt {69}}}}+{\sqrt[{3}]{108-12{\sqrt {69}}}}}{6}}={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\cosh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f1def4c71c93910e0d394d4ea1fc9a55cdc2894)
![{\displaystyle \left(-{\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\mp {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}\approx -0{,}6626\pm 0{,}5623i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1b71c469c654c2b2e38839f1a7d3fffc97de1e8)
![{\displaystyle x=\lambda ^{*}(23)={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}(5+{\sqrt {23}})\left[{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{100-12{\sqrt {69}}}}-{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}-1){\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69}}}}\right]^{4}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f4bf2c638c072f3252e6b92cc62ee85d0d11dd)
![{\displaystyle ={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}(5+{\sqrt {23}})[\rho ^{2}-(9\rho ^{2}-2\rho -6)/{\sqrt {23}}]^{4}=\sin \left[{\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {1}{8}}\rho ^{-12}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e3983dc0b0e8c0224f34cd600c986b945f90c33)
![{\displaystyle \lambda ^{*}\left({\frac {1}{23}}\right)=\cos \left[{\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {1}{8}}\rho ^{-12}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f32505922a458586121c4fcb31bb729560dd5e)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(92)=\tan \left[{\frac {1}{4}}\arcsin \left({\frac {1}{8}}\rho ^{-12}\right)\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef29f7819b8f9417549989760bfce5b221501177)
![{\displaystyle \lambda ^{*}\left({\frac {4}{23}}\right)=\tan \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arcsin \left({\frac {1}{8}}\rho ^{-12}\right)\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c8270e390d32cafaa5aa4c00affb20e02d0f5c)
