Satz von Poincaré-Bendixson

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In der Mathematik ist das Poincaré–Bendixson-Theorem ein Satz über das Verhalten von Bahnkurven in zweidimensionalen stetigen dynamischen Systemen. Es ist benannt nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré, der ursprünglich eine schwächere Form des Satzes verfasste,[1] obwohl er keinen vollständigen Beweis kannte, und nach dem schwedischen Mathematiker Ivar Bendixson, der den vollständigen Satz 1901 bewies.[2]

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Theorem existiert in einigen äquivalenten Formulierungen. Eine allgemeine Version ist die folgende:[3]

Gegeben sei ein differenzierbares dynamisches System , das auf einer offenen Teilmenge der Ebene definiert ist: . Dann ist jede kompakte ω-Limesmenge, die nur endlich viele kritische Punkte enthält, entweder
  • ein kritischer Punkt,
  • ein periodischer Orbit oder
  • eine zusammenhängende Menge, bestehend aus einer endlichen Anzahl von kritischen Punkten zusammen mit homoklinen bzw. heteroklinen Orbits, die diese verbinden. In diesem Fall gibt es höchstens einen Orbit, der verschiedene kritische Punkte in der gleichen Richtung verbindet; für einen kritischen Punkt kann es allerdings mehr als einen homoklinen Orbit geben.

Man beachte, dass der Satz in höheren Dimensionen falsch ist. Das liegt vor allem an der Anwendung des jordanschen Kurvensatzes im Beweis.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Poincaré, H. (1892), „Sur les courbes définies par une équation différentielle“, Oeuvres, 1, Paris
  2. Bendixson, Ivar (1901), „Sur les courbes définies par des équations différentielles“, Acta Mathematica (Springer Netherlands) 24 (1): 1–88, doi:10.1007/BF02403068.
  3. Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (freie Onlineversion).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]