Poisson-Gleichung

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Dieser Artikel beschäftigt sich mit den Poisson-Gleichungen aus der Elektrostatik und der klassischen Gravitationstheorie. In der Thermodynamik bezieht sich die Poisson-Gleichung auf eine Adiabatische Zustandsänderung.

Die Poisson-Gleichung, benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker Siméon Denis Poisson, ist eine elliptische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die als Teil von Randwertproblemen in weiten Teilen der Physik Anwendung findet.

Mathematische Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Poisson-Gleichung lautet allgemein

Dabei bezeichnet

  • den Laplace-Operator
  • die gesuchte Lösung
  • eine Funktion. Ist , so wird die Gleichung zur Laplace-Gleichung.

Um die Poisson-Gleichung zu lösen, müssen noch weitere Informationen gegeben sein, z. B. in Form einer Dirichlet-Randbedingung:

mit offen und beschränkt.

In diesem Fall konstruiert man eine Lösung mithilfe der Fundamentallösung der Laplace-Gleichung:

Dabei bezeichnet den Flächeninhalt der Einheitssphäre im n-dimensionalen Euklidischen Raum.

Durch die Faltung erhält man eine Lösung der Poisson-Gleichung.

Um auch die Randwertbedingung zu erfüllen, kann man die Greensche Funktion verwenden

ist dabei eine Korrekturfunktion, die

erfüllt. Sie ist im Allgemeinen von abhängig und nur für einfache Gebiete leicht zu finden.

Kennt man , so ist eine Lösung des Randwertproblems von oben gegeben durch

wobei das Oberflächenmaß auf bezeichne.

Die Lösung kann man auch mithilfe des Perronverfahrens oder eines Variationsansatzes finden.

Anwendungen in der Physik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Poisson-Gleichung genügen beispielsweise das elektrostatische Potential und das Gravitationspotential, jeweils mit Formelzeichen . Dabei ist die Funktion proportional zur elektrischen Ladungsdichte bzw. zur Massendichte.

Für eine räumlich beschränkte Ladungsdichte ist die Lösung der Poisson-Gleichung, die für große Abstände gegen Null geht, das Integral

In Worten: jede Ladung am Ort im kleinen Gebiet der Größe trägt additiv bei zum Potential am Ort mit ihrem elektrostatischen oder Gravitationspotential:

Elektrostatik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da das elektrostatische Feld ein konservatives Feld ist, kann es über den Gradienten eines Potentials ausgedrückt werden:

Mit Anwendung der Divergenz ergibt sich

mit dem Laplace-Operator .

Gemäß der ersten Maxwellgleichung gilt jedoch auch

mit

  • der Ladungsdichte
  • der Permittivität .

Damit folgt für die Poisson-Gleichung des elektrischen Feldes

Elektrodynamik stationärer Ströme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Beispiel wird hier der Emitter einer Silizium-Solarzelle betrachtet, der in guter Näherung als rein zweidimensional beschrieben werden kann. Der Emitter befinde sich in der x-y-Ebene, die z-Achse zeige in die Basis hinein. Die laterale Flächenstromdichte im Emitter hängt von der am Emitter auftretenden z-Komponente der (Volumen-)Stromdichte der Basis ab, was durch die Kontinuitätsgleichung in der Form

beschrieben werden kann (mit dem zweidimensionalen Nabla-Operator ). Die Flächenstromdichte hängt über das lokale Ohmsche Gesetz mit dem lateralen elektrischen Feld im Emitter zusammen: ; hier ist der als homogen angenommene spezifische Flächenwiderstand des Emitters. Schreibt man (wie im Abschnitt zur Elektrostatik diskutiert) das elektrische Feld als Gradient des elektrischen Potentials, , so erhält man für die Potentialverteilung im Emitter eine Poisson-Gleichung in der Form

Gravitation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gravitationsbeschleunigung g einer Masse M ergibt sich aus dem Gravitationsgesetz zu

Dabei ist

Der Fluss durch die Oberfläche A eines Kugelvolumens ist dann

wobei der Normalenvektor ist.

In Kugelkoordinaten gilt

woraus folgt:

Aus einer durch eine Massendichte beschriebene Massenverteilung ergibt sich die Gesamtmasse zu

Damit folgt

Mit dem Satz von Gauß ergibt sich für das Integral jedoch auch

und somit

Da die Form des Volumens beliebig ist, müssen die Integranden gleich sein, sodass

Die Gravitation stellt ein konservatives Kraftfeld dar, sodass

Damit ergibt sich die Poisson-Gleichung der Gravitation zu

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]