Poisson-Gleichung

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Dieser Artikel beschäftigt sich mit den Poisson-Gleichungen aus der Elektrostatik und der klassischen Gravitationstheorie. In der Thermodynamik bezieht sich die Poisson-Gleichung auf eine Adiabatische Zustandsänderung.

Die Poisson-Gleichung, benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker Siméon Denis Poisson, ist eine elliptische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die als Teil von Randwertproblemen in weiten Teilen der Physik Anwendung findet.

Mathematische Formulierung[Bearbeiten]

Die Poisson-Gleichung lautet allgemein

-\Delta u = f

Dabei bezeichnet

Um die Poisson-Gleichung zu lösen, müssen noch weitere Informationen gegeben sein, z. B. in Form einer Dirichlet-Randbedingung:


\begin{cases}
-\Delta u & = f \; \text{in}  \ \Omega \\
        u & = g \; \text{auf} \ \partial\Omega
\end{cases}

mit \Omega \subset \R^n offen und beschränkt.

In diesem Fall konstruiert man eine Lösung mithilfe der Fundamentallösung \Phi der Laplace-Gleichung:

\Phi(x) := \begin{cases}
-\dfrac{1}{2\pi}\ln |x|                        & n =   2 \\
\dfrac{1}{n(n-2)\omega_n} \cdot \dfrac{1}{|x|^{n-2}} & n \ge 3
\end{cases}

Dabei bezeichnet \omega_n das Volumen der Einheitskugel im n-dimensionalen Euklidischen Raum.

Durch die Faltung (\Phi * f) erhält man eine Lösung der Poisson-Gleichung.

Um auch die Randwertbedingung zu erfüllen, kann man die Greensche Funktion verwenden

G(x,y) := \Phi(y-x) - \phi^x(y)

\phi^x ist dabei eine Korrekturfunktion, die


\begin{cases}
\Delta \phi^x = 0 &\text{in} \ \Omega \\
\phi^x = \Phi(y-x) &\text{auf} \ \partial\Omega
\end{cases}

erfüllt. Sie ist im Allgemeinen von \Omega abhängig und nur für einfache Gebiete leicht zu finden.

Kennt man G(x,y), so ist eine Lösung des Randwertproblems von oben gegeben durch

u(x) = -\int_{\partial\Omega}g(y)\frac{\partial G}{\partial \nu}(x,y)\mathrm{d}\sigma(y) + \int_\Omega f(y) G(x,y) \mathrm{d}y

wobei \sigma das Oberflächenmaß auf \partial\Omega bezeichne.

Die Lösung kann man auch mithilfe des Perronverfahrens oder eines Variationsansatzes finden.

Anwendungen in der Physik[Bearbeiten]

Der Poisson-Gleichung genügen beispielsweise das elektrostatische Potential und das Gravitationspotential, jeweils mit Formelzeichen \Phi. Dabei ist die Funktion f proportional zur elektrischen Ladungsdichte bzw. zur Massendichte.

Für eine räumlich beschränkte Ladungsdichte f ist die Lösung \Phi der Poisson-Gleichung, die für große Abstände gegen Null geht, das Integral

\Phi(\mathbf x)=\frac 1 {4\,\pi} \int \mathrm d^3 \mathbf y \, \frac{f(\mathbf y)}{|\mathbf x - \mathbf y |}

In Worten: jede Ladung \mathrm d^3 \mathbf y \, f(\mathbf y) am Ort \mathbf y im kleinen Gebiet der Größe \mathrm d^3 \mathbf y trägt additiv bei zum Potential \Phi am Ort \mathbf x mit ihrem elektrostatischen oder Gravitationspotential:

\frac{\mathrm d^3 \mathbf y\,f(\mathbf y)}{4\,\pi\,|\mathbf x - \mathbf y |}

Elektrostatik[Bearbeiten]

Da das elektrostatische Feld ein konservatives Feld ist, kann es über den Gradienten \nabla \Phi eines Potentials \Phi(\mathbf r) ausgedrückt werden:

\mathbf E(\mathbf r) = -\nabla \Phi(\mathbf r).

Mit Anwendung der Divergenz ergibt sich

\nabla \cdot \mathbf E(\mathbf r)= -\Delta \Phi(\mathbf r)

mit dem Laplace-Operator \Delta.

Gemäß der ersten Maxwellgleichung gilt jedoch auch

\nabla \cdot \mathbf E(\mathbf r) = \frac{\rho(\mathbf r)}{\varepsilon}

mit

Damit folgt für die Poisson-Gleichung des elektrischen Feldes

\Delta \Phi(\mathbf r) = -\frac{\rho(\mathbf r)}{\varepsilon}

Gravitation[Bearbeiten]

Die Gravitationsbeschleunigung g einer Masse M ergibt sich aus dem Gravitationsgesetz zu

\mathbf g = -\frac{GM}{r^2}\frac{\mathbf r}{r}.

Dabei ist

Der Fluss durch die Oberfläche A eines beliebigen Volumens ist dann

\begin{align}
      \oint_A \mathbf g \, \mathrm d \mathbf A
  &= -\oint_A \frac{GM}{r^2}\frac{\mathbf r}{r} \, \mathbf n \, \mathrm d A\\
  &= -\oint_A \frac{GM}{r^2}\frac{\mathbf r}{r} \frac{\mathbf r}{r} \mathrm d A\\
  &= -\oint_A \frac{GM}{r^2} \mathrm d A,
\end{align}

wobei \mathbf n=\frac{\mathbf r}{r} der Normalenvektor ist.

In Kugelkoordinaten gilt

\mathrm dA = r^2 \sin(\theta) \, \mathrm d\theta \, \mathrm d \varphi,

woraus folgt:

\begin{align}
     -\oint_A \frac{GM}{r^2} \mathrm d A
  &= -\oint_A \frac{GM}{r^2} r^2 \sin(\theta)\, \mathrm d\theta \, \mathrm d \varphi\\
  &=-\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} GM  \sin(\theta)\, \mathrm d\theta \, \mathrm d \varphi\\
  &= -4 \pi G M.
\end{align}

Aus einer durch eine Massendichte \rho(\mathbf r) beschriebene Massenverteilung ergibt sich die Gesamtmasse zu

M = \int_V \rho(\mathbf r) \mathrm d V.

Damit folgt

-4 \pi G M = -4 \pi G \int_V \rho(\mathbf r) \mathrm d V.

Mit dem Satz von Gauß ergibt sich für das Integral jedoch auch

\oint_A \mathbf g \, \mathrm d \mathbf A=\int_V \nabla \cdot \mathbf g\, \mathrm d V

und somit

\int_V \nabla \cdot \mathbf g\, \mathrm d V = -4 \pi G \int_V \rho(\mathbf r) \mathrm d V.

Da die Form des Volumens beliebig ist, müssen die Integranden gleich sein, sodass

\nabla \cdot \mathbf g = -4 \pi G \rho(\mathbf r)

Die Gravitation stellt ein konservatives Kraftfeld dar, sodass

\mathbf g = -\nabla \Phi(\mathbf r)

Damit ergibt sich die Poisson-Gleichung der Gravitation zu

-\nabla (\nabla \Phi(\mathbf r)) = -4 \pi \cdot G \cdot \rho(\mathbf r) \Leftrightarrow
\Delta \Phi(\mathbf r) = 4 \pi \cdot G \cdot \rho(\mathbf r)

Quellen[Bearbeiten]