Poissonsche Summenformel

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Die poissonsche Summenformel ist ein Hilfsmittel der Fourier-Analysis und Signalverarbeitung. Sie dient unter anderem zur Analyse der Eigenschaften von Abtastmethoden.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Schwartz-Funktion und sei

die Kontinuierliche Fourier-Transformation von in . Dann besagt die poissonsche Summenformel

Diese Identität gilt auch für bestimmte allgemeinere Klassen von Funktionen. Geeignete Voraussetzungen sind beispielsweise, dass die Funktion f zweifach stetig differenzierbar und der Ausdruck beschränkt ist.

Unter Ausnutzung der elementaren Eigenschaften der Fourier-Transformation ergibt sich daraus die allgemeinere Formel mit zusätzlichen Parametern

Setzt man in der allgemeineren Form ,

so kann die poissonsche Summenformel auch als Identität einer Fourier-Reihe mit Funktionswerten von f als Koeffizienten auf der linken Seite und einer Periodisierung der Fourier-Transformierten von f auf der rechten Seite gelesen werden. Diese Identität gilt mit Ausnahme einer Menge vom Maß Null, wenn f eine bandbeschränkte Funktion ist, das heißt die Fourier-Transformierte eine messbare Funktion in mit kompaktem Träger ist.

Formulierung mittels Dirac-Kamm[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Dirac-Kamm zur Intervalllänge ist die Distribution

Die Fourier-Transformierte einer temperierten Distribution ist definiert durch

in Analogie zur Plancherel-Identität. Da die Fouriertransformation ein stetiger Operator auf dem Schwartzraum ist, definiert dieser Ausdruck tatsächlich eine temperierte Distribution.

Der Dirac-Kamm ist eine temperierte Distribution, und die poissonsche Summenformel besagt nun, dass

ist. Dies lässt sich auch in der Form

schreiben. Dabei sind die Exponentialfunktionen als temperierte Distributionen aufzufassen, und die Reihe konvergiert im Sinne von Distributionen, also im Schwach-*-Sinne, gegen den Dirac-Kamm. Man beachte aber, dass sie im gewöhnlichen Sinne nirgendwo konvergiert.

Zum Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei f genügend glatt und im Unendlichen genügend schnell fallend, sodass die Periodisierung

stetig, beschränkt, differenzierbar und periodisch mit Periode 1 ist. Diese kann also in eine punktweise konvergente Fourier-Reihe entwickelt werden,

Deren Fourier-Koeffizienten bestimmen sich nach der Formel

Ebenfalls aus dem schnellen Abfall im Unendlichen folgt, dass die Summe mit dem Integral vertauscht werden kann. Daher gilt mit s=t+n weiter

Zusammenfassend gilt

woraus sich bei die Behauptung ergibt.

Anwendung auf bandbeschränkte Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei x bandbeschränkt mit höchster Frequenz W, das heißt . Ist dann so tritt in der rechten Seite der Summenformel nur ein Summand auf, mit den Ersetzungen , t=0 und Multiplikation eines Faktors erhält man

Nach Multiplikation mit der Indikatorfunktion des Intervalls [-W,W] und nachfolgend der inversen Fourier-Transformation ergibt sich

Im Grenzfall ist dies die Rekonstruktionsformel des Nyquist-Shannon-Abtasttheorems

wobei die Sinc-Funktion mit ist.

Anwendungen in der Zahlentheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe der Poissonschen Summenformel kann man zeigen, dass die Theta-Funktion

der Transformationsformel

genügt. Diese Transformationsformel wurde von Bernhard Riemann beim Beweis der Funktionalgleichung der Riemannschen Zeta-Funktion verwendet.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Elias M. Stein, Guido Weiss: Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. 1. Auflage. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1971, ISBN 978-0-691-08078-9.
  • J. R. Higgins: Five short stories about the cardinal series. In: Bulletin of the American Mathematical Society. 12, 1, 1985, ISSN 0002-9904, S. 45–89, online (PDF; 4,42 MB).
  • John J. Benedetto, Georg Zimmermann: Sampling multipliers and the Poisson summation formula. In: The journal of Fourier analysis and applications. 3, 5, 1997, ISSN 0002-9904, S. 505–523, online.