Polarisationsformel

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In der linearen Algebra wird durch eine Polarisationsformel eine symmetrische Bilinearform beziehungsweise eine Sesquilinearform mithilfe ihrer zugehörigen quadratischen Form dargestellt.

Ein wichtiger Anwendungsfall ist die Darstellung des Skalarproduktes eines Innenproduktraumes durch die zugehörige induzierte Norm . Umgekehrt kann man fragen, ob eine gegebene Norm durch ein Skalarprodukt induziert wird. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Norm die Parallelogrammgleichung erfüllt, das Skalarprodukt kann dann mittels Polarisation aus dem Quadrat der Norm bestimmt werden.

Der reelle Fall (symmetrische Bilinearform)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien ein Vektorraum über dem Körper und eine symmetrische Bilinearform, d.h.

für alle , .

Ihre zugehörige quadratische Form wird dann definiert durch

Umgekehrt wird die symmetrische Bilinearform durch ihre quadratische Form eindeutig bestimmt. Dies drückt die Polarisationsformel aus: es gilt

Dass dies nicht für beliebige (also auch nicht symmetrische) Bilinearformen gilt, zeigt das folgende Beispiel. Mit Hilfe der Matrizen

seien die Bilinearformen gegeben durch

Dann sind und verschieden, definieren aber dieselbe quadratische Form.

Der komplexe Fall (Sesquilinearform)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien ein Vektorraum über dem Körper und eine (nicht notwendigerweise hermitesche) Sesquilinearform. Ihre zugehörige quadratische Form wird wie im reellen Fall definiert durch

Auch eine Sesquilinearform ist durch ihre quadratische Form eindeutig bestimmt. Für Sesquilinearformen lautet die Polarisationsformel:

falls im ersten Argument semilinear ist und

falls im zweiten Argument semilinear ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]