Polygammafunktion

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Die ersten Polygammafunktionen im Reellen
m = 0   m = 1   m = 2   m = 3   m = 4

In der Mathematik sind die Polygamma-Funktionen eine Reihe spezieller Funktionen, die als die Ableitungen der Funktion definiert sind. Dabei bezeichnet die Gammafunktion und den natürlichen Logarithmus.

Die ersten beiden Polygammafunktionen werden Digammafunktion und Trigammafunktion genannt.

Darstellung der ersten fünf Polygammafunktionen in der komplexen Ebene
Complex LogGamma.jpg
Complex Polygamma 0.jpg
Complex Polygamma 1.jpg
Complex Polygamma 2.jpg
Complex Polygamma 3.jpg
Complex Polygamma 4.jpg

Notation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Polygammafunktionen werden mit dem kleinen griechischen Buchstaben Psi gekennzeichnet. Bei der ersten Polygammafunktion wird der Index meist weggelassen oder als 0 festgelegt; sie wird als Digammafunktion bezeichnet. Die zweite Polygammafunktion, also die Trigammafunktion, hat das Symbol (oder seltener ) und ist die zweite Ableitung von . Allgemein wird die -te Polygammafunktion oder Polygammafunktion der Ordnung mit oder bezeichnet und als die (n+1)-te Ableitung von definiert.

Definition und weitere Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es ist

mit der Digammafunktion . Derartige Ableitungen werden auch als logarithmische Ableitungen von bezeichnet.

Eine Integraldarstellung ist

für und

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Differenzengleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Polygammafunktionen haben die Differenzengleichungen

Reflexionsformel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine weitere wichtige Beziehung lautet

Multiplikationsformel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Multiplikationsformel ist für gegeben durch

Zum Fall also der Digammafunktion, siehe dort.

Reihendarstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Reihendarstellung der Polygammafunktion lautet

wobei und eine beliebige komplexe Zahl außer den negativen ganzen Zahlen ist. Die Formel lässt sich einfacher unter Verwendung der hurwitzschen Zetafunktion schreiben als

Die Verallgemeinerung der Polygammafunktionen auf beliebige, nichtganze Ordnungen ist weiter unten angegeben.

Eine weitere Reihendarstellung ist

wobei das Kronecker-Delta bezeichnet, die aus der Zerlegung der Gammafunktion nach dem weierstraßschen Produktsatz folgt.

Die Taylor-Reihe um ist gegeben durch

die für konvergiert. bezeichnete dabei die Riemannsche Zetafunktion.

Spezielle Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Werte der Polygammafunktionen für rationale Argumente lassen sich meist ausdrücken unter Verwendung von Konstanten und Funktionen wie , Quadratwurzel, Clausen-Funktion , Riemannsche ζ-Funktion, Catalansche Konstante sowie Dirichletsche β-Funktion; z. B.

Allgemein gilt ferner:

.

Die m-te Ableitung des Tangens kann ebenfalls mit der Polygammafunktion ausgedrückt werden:

.

Verallgemeinerte Polygammafunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die verallgemeinerte Polygammafunktion erfüllt für und die Funktionalgleichung

wobei die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Wegen

für ganzzahlige ist die weiter oben angegebene Differenzengleichung für natürliche eingeschlossen.

Unter Zuhilfenahme der Hurwitzschen -Funktion erhält man dann die Beziehung

welche die Funktionalgleichung erfüllt.[1]

Als Konsequenz daraus lässt sich die Verdopplungsformel

herleiten. Eine Verallgemeinerung davon lautet

die ein Äquivalent zur Gaußschen Multiplikationsformel der Gammafunktion darstellt und die Multiplikationsformel als Spezialfall für enthält.

q-Polygammafunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die -Polygammafunktion ist definiert durch[2]

.

Referenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Oliver Espinosa and Victor H. Moll: A Generalized Polygamma Function auf arXiv.org e-Print archive 2003.
  2. Eric W. Weisstein: q-Polygamma Function. In: MathWorld (englisch).