Potenz-assoziative Algebra

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Eine potenz-assoziative Algebra ist eine Algebra, in welcher die Potenzen eines Elements unabhängig von der Beklammerungsreihenfolge definiert werden können.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ein Magma und jedes definiere man

sowie für jedes .

Die Verknüpfung eines Magmas heißt potenz-assoziativ für ein Element , wenn für alle positiven natürlichen Zahlen gilt

Ein Magma nennt man potenz-assoziatives Magma, wenn dessen Verknüpfung potenz-assoziativ ist für jedes .

Die Algebra heißt potenz-assoziativ (potenz-assoziative Algebra), wenn ihre Multiplikation potenz-assoziativ ist, also ein potenz-assoziatives Magma ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

potenz-assoziative Magmen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jede Halbgruppe ist auch immer ein potenz-assoziatives Magma.
  • Für jedes idempotente Element eines Magmas gilt die Potenz-Assoziativität: .
    • Entsprechend ist jedes idempotente Magma ein potenz-assoziatives Magma
  • Jede alternative und flexible Verknüpfung, die die Moufang-Identitäten erfüllt, ist auch potenz-assoziativ.
    • Beweis (per vollständiger Induktion):
      • Induktionsanfang :
      • Induktionsanfang :
      • Induktionsschritt für :
1: Definition
2: (Links-)Alternativität von
3: Flexibilität (und der daraus folgenden i-Potenz-Assoziativität, siehe unten) von
4: Moufang-Identität für
5: Induktionsvoraussetzung
    • Für die Multiplikation einer Algebra reicht hierfür bereits die Alternativität aus, siehe unten!
    • Für Spezialfälle reichen weniger Voraussetzungen aus. So folgt bereist aus der Alternativität:
1: Definition
2: Linksalternativität
3: Rechtsalternativität

potenz-assoziative Algebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Alle assoziativen Algebren sind potenz-assoziativ.
  • Alle -Algebren , in denen es zu jedem ein gibt mit , sind potenz-assoziativ.
    • Hierzu gehört beispielsweise , ausgestattet mit dem Kreuzprodukt, da für alle .
  • Die Algebra der Sedenionen ist ebenfalls eine potenz-assoziative Algebra.

Weitere Abschwächungen der Potenz-Assoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Verknüpfung eines Magmas heißt i-potenz-assoziativ für ein Element , wenn für jede positive natürliche Zahl gilt

Ein Magma, dessen Verknüpfung i-potenz-assoziativ ist, kann man somit auch als ein i-potenz-assoziatives Magma bezeichnen.

Ein potenz-assoziatives Magma ist auch immer ein i-potenz-assoziatives Magma, denn es gilt:

1: Definition
2: Potenz-Assoziativität von

Ein flexibles Magma (und erst recht jede Halbgruppe) ist auch immer ein i-potenz-assoziatives Magma, denn es gilt (per vollständiger Induktion):

  • Induktionsanfang (nur mit Definition ):
  • Induktionsschritt :
1: Definition
2: Flexibilität von
3: Induktionsvoraussetzung

Die Verknüpfung eines Magmas heißt idemassoziativ (in Anlehnung an idempotent) für ein Element , wenn gilt

.

Ein Magma, dessen Verknüpfung idemassoziativ ist, kann man somit auch als ein idemassoziatives Magma bezeichnen.

Ein i-potenz-assoziatives Magma ist auch immer ein idemassoziatives Magma (mit ).

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist idemassoziativ, aber weder i-potenz-asoziativ (und somit auch nicht potenz-assoziativ) noch flexibel noch alternativ:
0 1 2
0 2 1 2
1 2 2 0
2 2 0 0
    • nicht alternativ wegen
    • nicht flexibel wegen
    • nicht potenz-assoziativ wegen
    • nicht i-potenz-assoziativ wegen
    • idemassoziativ wegen
  • Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist potenz-assoziativ (und somit auch i-potenz-assoziativ und idemassoziativ), aber weder flexibel noch alternativ:
0 1 2
0 0 0 0
1 0 0 2
2 0 0 2
    • nicht alternativ wegen
    • nicht flexibel wegen
    • potenz-assoziativ wegen
  • Das Potenzieren ist nicht idemassoziativ (und somit auch weder i-potenz-assoziativ noch potenz-assoziativ), denn es gilt zum Beispiel:

.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]