Potenzregel

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Die Potenzregel ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Sie dient der Ermittlung der Ableitung von Potenzfunktionen.

Definition und Geltungsbereich[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung der Funktion ist . Dies gilt für und .

Beispielsweise hat die Funktion die Ableitung .

Die Potenzregel gilt für nur für , da an der Stelle 0 der Ausdruck auftreten würde, dessen Definition nicht eindeutig ist.

Die Potenzregel gilt für nur für , da sonst eine Division durch 0 aufträte.

Die Potenzregel gilt auch für Potenzfunktionen , wenn der Exponent (Hochzahl) keine ganze Zahl ist, dann aber nur im Bereich [1]:

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. Fall: Der Exponent ist eine natürliche Zahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung einer Potenzfunktion an der Stelle x ist der Grenzwert:

.

Nach dem binomischen Lehrsatz ist dies gleich

geschrieben mit so genannten Binomialkoeffizienten. Daraus folgt dann die Potenzregel:

.

Bildlich veranschaulicht wächst ein 'n-dimensionaler Würfel' in genau n Richtungen (entlang den n Koordinatenachsen) um '(n-1)-dimensionale Würfel' an. Ein Quadrat wächst (bzw. kristallisiert) also marginal um 2 Seitenlinien, und ein Würfel wächst um 3 Quadrate.

2. Fall: Beliebiger Exponent[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man benutzt die Darstellung mithilfe der Exponentialfunktion: und leitet mithilfe der Kettenregel und der Ableitungsregel für die Exponentialfunktion[2] ab:

Für die innere Ableitung benutzt man die Faktorregel und die Regel für die Ableitung der Logarithmusfunktion:

Indem man dies einsetzt und für wieder schreibt, erhält man

Diese Herleitung gilt nur für . Für ist die Funktion aber auch an der Stelle differenzierbar und die Regel gilt auch an der Stelle . Man berechnet direkt mithilfe des Differenzenquotients:

Mehrfache Ableitung einer Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(Zur Schreibweise des Folgenden siehe Leibniz-Notation.) Innerhalb des Definitionsbereichs einer Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten ist deren -fache Ableitung...

  • ...für .
Beweis  

Die Behauptung lässt sich für mit vollständiger Induktion beweisen.


Induktionsanfang für (wahr)

Induktionsvoraussetzung:

Induktionsbehauptung:


Induktionsschritt:

Die -te Ableitung ist die Ableitung der -ten Ableitung:

mit der Induktionsvoraussetzung:

, q. e. d.

Für manche Anwendungen ist praktisch, eine Funktion als -te Ableitung ihrer selbst zu definieren. Wie leicht zu sehen ist, gilt dann die Regel für ebenfalls.
Für ist insbesondere
  • ...für
Dies folgt direkt aus , denn die Ableitung einer beliebigen konstanten Funktion ist die Nullfunktion; letzteres gilt auch für die Nullfunktion selbst.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag (1976), ISBN 3-499-27024-2, §15, Beispiel (15.9)
  2. Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag (1976), ISBN 3-499-27024-2, §15, Beispiel (15.16)