Potts-Modell

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Das Potts-Modell ist ein mathematisches Modell und kann als Verallgemeinerung des in der statistischen Physik verwendeten Ising-Modells betrachtet werden. Statt nur zwei Zuständen im Isingmodell betrachtet man q verschiedene Zustände von Spins auf einem Gitter, zwischen denen eine Nächste-Nachbar-Wechselwirkung besteht. Anwendung findet es unter anderem in der Physik (statistische Mechanik), Informatik (Signalverarbeitung) und Biologie (neuronale Netze). Das Modell wurde benannt nach Renfrey Potts, welcher das Modell 1951 in seiner Dissertation definierte. Einen Spezialfall behandelten schon Julius Ashkin und Edward Teller 1943.

Es hat eine reichhaltigere mathematische Struktur als das Ising-Modell und wurde deshalb viel als Modellsystem zum Studium kritischer Phänomene benutzt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Potts-Modell besteht aus einem d-dimensionalen Gittergraphen , zum Beispiel einem zweidimensionalen Rechteckgitter, einer Menge von Knotenbelegungen (Knotenkonfigurationen) und einem Hamiltonoperator auf dieser Menge. Jeder Knoten wird mit einem Element aus der Menge

belegt. Diese können als Punkte auf dem 2-dimensionalen Einheitskreis interpretiert werden und sind die Richtungen, die die Spins auf den jeweiligen Gitterpunkten annehmen können. Der Hamiltonoperator ist im planaren Pottsmodell (auch Vektor-Potts-Modell oder Uhren-Modell, clock model) gegeben durch

Summiert wird über alle benachbarten Knoten für . Die Kopplungskonstante beschreibt die Wechselwirkung zwischen Spins auf den benachbarten Knoten.

Alternativ zu dem gerade beschriebenen planaren Potts-Modell wird gibt es das Standard-Potts-Modell (oder einfach: Potts-Modell). Dabei werden die Knoten mit Elementen aus der Menge belegt. Der Hamiltonoperator ist gegeben durch

wobei das Kronecker-Delta ist. Das heißt, falls zwei benachbarte Knoten verschiedene Werte der Spins besitzen, verschwindet der entsprechende Summand. Das negative Vorzeichen von ist eine Konvention, motiviert vom Ising-Modell. Das Standard-Potts-Modell ist ferromagnetisch für und antiferromagnetisch für .

Die Unterscheidung von planarem und Standard-Potts-Modell stammt von Cyril Domb (1974)[1].

Verhältnis zu anderen statistischen Modellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeine Version[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf dem Gittergraphen mit der Menge der Knotenbelegungen kann eine allgemeinere Version des Potts-Modells definiert werden:

Im Unterschied zum ursprünglichen Modell variiert die Wechselwirkung zwischen den benachbarten Knoten. Außerdem kann ein äußeres Feld ergänzt werden:

Hierbei ist wie üblich .

Es können auch Wechselwirkungsterme für mehr als die zwei nächstbenachbarten Gitterplätze hinzugefügt werden. Das verdünnte Potts-Modell hat freie Gitterplätze (Gittergas).

Das Ising-Modell als Spezialfall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Setzt man , folgt aus dem Potts-Modell das Ising-Modell.

Das XY-Modell als Spezialfall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für erhält man das XY-Modell, welches wiederum als Spezialfall des N-Vektor-Modells mit verstanden werden kann. Betrachtet man das planare Potts-Modell, so ist der Zustandsraum der Spins keine endliche Teilmenge des Einheitskreises, sondern der ganze 2-dimensionale Einheitskreis.

Ashkin-Teller-Modell[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Ashkin-Teller-Modell ist das planare Potts-Modell mit q=4 Zuständen.

Sonstige[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt auch Verbindungen zum Heisenberg-Modell, N-Vektor-Modell, (ice-rule) Vertexmodellen und zur Perkolationstheorie (zuerst von Kasteleyn und Fortuin 1969 für Bond-Perkolation, später auch für Site-Perkolation).

Das Kirchhoffsche Gesetz für Netzwerke aus linearen Widerständen ergibt sich als q=0 Grenzwert des Potts-Modells (Kasteleyn, Fortuin 1972).

Diskussion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Potts betrachtete das planare Modell und konnte ähnlich wie beim Ising-Modell mit Kramers-Wannier-Dualität den kritischen Punkt für das Rechteckgitter und q=2, 3, 4 bestimmen. Am Ende seiner Arbeit gab er den kritischen Punkt des Standart-Potts-Modells für alle q.

Das planare und das Standard-Modell sind identisch für q=2 (Ising-Modell) mit und q=3 mit . Außerdem ist das q=4 planare Modell für beliebige Gitter auf das q=2 Modell reduzierbar. Für gibt es dagegen keine offensichtlichen Bezüge zwischen dem planaren und Standard-Modell.

Auf einem zweidimensionalen Gitter hat das Potts-Modell mit einen Phasenübergang erster Ordnung für und ansonsten einen kontinuierlicher Phasenübergang (2. Ordnung) wie beim Isingmodell (q=2) (Rodney Baxter 1973, 1978). Baxter benutzte dabei die Identifizierung des zweidimensionalen Potts-Modells mit dem ice-rule Vertexmodell durch Temperley und Elliott Lieb (1971 für ein Gitter aus Quadraten).

Das eindimensionale Potts-Modell ist exakt lösbar (mit der Transfer-Matrix-Methode) und ebenso das zweidimensionale mit q=2 (Isingmodell).

Potts-Maß[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der Hamilton-Funktion wie oben

und der üblichen Definition der Zustandssumme

kann man das Potts-Maß definieren, das als Wahrscheinlichkeitsmaß zu den Boltzmannverteilungen gehört:

Die Freie Energie ist wie üblich:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Domb, J. Phys. A, Band 7, 1974, S. 1335