Trennschärfe eines Tests

Die Trennschärfe, Güte, Macht oder Power (englisch für Macht, Leistung, Stärke) eines Tests (oder auch Teststärke), beschreibt in der Testtheorie –einem Teilgebiet der mathematischen Statistik– die Entscheidungsfähigkeit eines statistischen Tests. Die Trennschärfe eines Tests ist die Fähigkeit eines Tests, eine unwahre Nullhypothese als solche kenntlich zu machen.

Genauer gesagt gibt die Trennschärfe an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein statistischer Test die abzulehnende Nullhypothese H₀ („Es gibt keinen Unterschied“) korrekt zurückweist, wenn die Alternativhypothese H₁ („Es gibt einen Unterschied“) wahr ist. Die Trennschärfe des Tests kann also als „Ablehnungskraft“ des Tests interpretiert werden. Hohe Trennschärfe des Tests spricht gegen, niedrige Trennschärfe für die Nullhypothese H₀. Es wird versucht den Ablehnbereich $A$ so zu bestimmen, dass die Wahrscheinlichkeit für die Ablehnung einer „falschen Nullhypothese“ H₀, d. h. für Beibehaltung der Alternativhypothese H₁ unter der Bedingung, dass H₁ wahr ist, möglichst groß ist: $\operatorname {Pr} (T\in A|H_{1})\;=1-\beta$.

Die Trennschärfe hat den Wert 1-β, ist also –wenn β die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 2. Art zu begehen bezeichnet– selbst die Wahrscheinlichkeit, einen ebensolchen Fehler zu vermeiden.

Entscheidungstabelle

	H0 ist wahr	H1 ist wahr
Durch einen statistischen Test fällt eine Entscheidung für H0	Richtige Entscheidung (Spezifität) Wahrscheinlichkeit: 1 - α	Fehler 2. Art Wahrscheinlichkeit: β
Durch einen statistischen Test fällt eine Entscheidung für H1	Fehler 1. Art Wahrscheinlichkeit: α	richtige Entscheidung Wahrscheinlichkeit: 1-β (Trennschärfe des Tests, Sensitivität)

Wahl des β-Fehler-Niveaus

Einfluss des Stichprobenumfangs auf die Gütefunktion bzw. Trennschärfe eines einseitigen (in diesem Fall linksseitigen) Tests

Einfluss des Stichprobenumfangs auf die Gütefunktion bzw. Trennschärfe eines zweiseitigen Tests

Für Wirksamkeitsstudien medizinischer Behandlungen schlägt Cohen (1969: 56) für β einen 4-mal so hohen Wert wie für das Signifikanzniveau α vor. Wenn α = 5 % ist, sollte das β-Fehler-Niveau also 20 % betragen. Liegt in einer Untersuchung die β-Fehler-Wahrscheinlichkeit (Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art) unter dieser 20 %-Grenze, so ist die Trennschärfe (1-β) damit größer als 80 %.

Es sollte dabei bedacht werden, dass β-Fehler bei vorgegebenem, festem Signifikanzniveau α im Allgemeinen nicht direkt kontrolliert werden können. So ist der ß-Fehler bei vielen asymptotischen oder nichtparametrischen Tests schlechthin unberechenbar oder es existieren nur Simulationsstudien. Bei einigen Tests dagegen, zum Beispiel dem t-Test, kann der β-Fehler kontrolliert werden, wenn der statistischen Auswertung eine Stichprobenumfangsplanung vorausgeht.

Determinanten der Trennschärfe

Die Trennschärfe (1-β) wird größer:

• mit wachsender Differenz von $(\mu _{0}-\mu _{1})$ (das bedeutet: ein großer Unterschied zwischen zwei Teilpopulationen wird seltener übersehen als ein kleiner Unterschied)
• mit kleiner werdender Merkmalsstreuung $\sigma$
• mit größer werdendem Signifikanzniveau $\alpha$ (sofern $\beta$ nicht festgelegt ist)
• mit wachsendem Stichprobenumfang, da der Standardfehler dann kleiner wird: $\sigma _{\overline {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$
• bei einseitigen Tests im Vergleich zu zweiseitigen Tests: Für den zweiseitigen Test braucht man einen etwa um 25 % größeren Stichprobenumfang, um dieselbe Trennschärfe wie für den einseitigen Test zu erreichen.

Wichtig für die Trennschärfe bzw. Power ist auch die Art des statistischen Tests: Parametrische Tests wie zum Beispiel der t-Test haben, falls die Verteilungsannahme stimmt, bei gleichem Stichprobenumfang stets eine höhere Trennschärfe als nichtparametrische Tests wie zum Beispiel der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test. Weichen die angenommene und die wahre Verteilung jedoch voneinander ab, liegt also beispielsweise in Wahrheit eine Laplace-Verteilung zugrunde, während eine Normalverteilung angenommen wurde, können nichtparametrische Verfahren jedoch auch eine wesentlich größere Trennschärfe aufweisen als ihre parametrischen Gegenstücke.

Entgegengesetzte Notation

In manchen Quellen wird –was für Verwirrung sorgen kann– für den Fehler 2. Art und die Trennschärfe die genau entgegengesetzte Notation verwendet, also die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen, mit dem Wert 1-β bezeichnet, die Trennschärfe dagegen mit β.

Siehe auch

• Operationscharakteristik
• G*Power (Software zur Durchführung von Poweranalysen)

Literatur

• Jacob Cohen: Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences. Erlbaum; Hillsdale, NJ 1969, ISBN 0-8058-0283-5

Weblinks

 Wiktionary: Power – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• G*Power 3 – frei verfügbares Programm zur Trennschärfeanalyse
• Interaktive Veranschaulichung