Präferenzrelation

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In der Mikroökonomik bezeichnet man als Präferenzrelation allgemein eine Rangfolge, in der zwei Güterbündel („Alternativen“) danach angeordnet sind, wie sie ein Individuum oder eine Gruppe von Individuen einander vorzieht. Formal handelt es sich bei einer Präferenzrelation um eine binäre Relation. Beispielsweise ist R eine Präferenzrelation (die so genannte Präferenz-Indifferenz-Relation, auch: schwache Präferenzrelation), die anzeigt, dass ihre erste Komponente als strikt besser als oder gleich gut wie die zweite empfunden wird. Präferiert eine Person I beispielsweise eine Alternative \mathbf{x}_{a} (schwach) gegenüber \mathbf{x}_{b}, dann ist das Tupel (\mathbf{x}_{a},\mathbf{x}_{b}) in der Menge R_i enthalten (der Index soll andeuten, dass es sich um die Präferenzen von Person I handelt).

Andere Präferenzrelationen sind die strikte Präferenzrelation P („strikt besser als“) sowie die Indifferenzrelation I („gleich gut wie“); auf eine gesonderte Definition der umgekehrten Konstellationen („schlechter als oder gleich gut wie“ bzw. „strikt schlechter als“) wird üblicherweise verzichtet, da man die zugrunde liegenden Präferenzstrukturen durch Vertauschung der Komponenten auch in der hier definierten Weise formulieren kann.

Man bezeichnet eine Präferenzrelation als Präferenzordnung, wenn sie gewisse Minimalanforderungen erfüllt (siehe der Abschnitt #Präferenzordnung).

Definition[Bearbeiten]

Man geht zunächst von einer Menge X aus, in der sämtliche n existierende Güterbündel („Alternativen“) enthalten sind:

X=\{\mathbf{x}_{1},\ldots,\mathbf{x}_{n}\}

Die \mathbf{x}_{i} sind Güterbündel und damit m-Tupel (x_{i}^{1},\ldots ,x_{i}^{m}), sodass beispielsweise x_{3}^{5} die Menge von Gut 5 im Güterbündel 3 anzeigt.

Präferenzrelationen sind binäre Relationen auf X, das heißt sie sind Untermengen von X\times X=\{(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{1}),(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}),\ldots,(\mathbf{x}_{2},\mathbf{x}_{1}),(\mathbf{x}_{2},\mathbf{x}_{2}),\ldots\}. Betrachtet sei im Folgenden zunächst nur die so genannte Präferenz-Indifferenz-Relation R (R\subseteq X\times X wie beschrieben). Im so definierten R sind alle geordneten Paare (\mathbf{x}_a,\mathbf{x}_b) enthalten, für die gilt, dass \mathbf{x}_a schwach gegenüber \mathbf{x}_b bevorzugt wird. Man verwendet fortan die Schreibweise \mathbf{x}_{a}R\mathbf{x}_{b} für (\mathbf{x}_{a},\mathbf{x}_{b})\in R. Man kann R ohne Umwege auch direkt als „ist besser als oder gleich gut wie“ lesen.

Durch R werden zwei weitere Relationen – abermals Untermengen von X\times X – induziert. Zum einen die Indifferenzrelation I, zum anderen die Präferenz-Relation P. Ihre Bedeutung ergibt sich aus der von R: Für zwei Alternativen \mathbf{x}_a und \mathbf{x}_b ist genau dann (\mathbf{x}_a,\mathbf{x}_b)\in I bzw. \mathbf{x}_a I\mathbf{x}_b, wenn \mathbf{x}_a R\mathbf{x}_b und zugleich \mathbf{x}_b R\mathbf{x}_a. I kann man dann als „ist gleich gut wie“ lesen. Analoges gilt für P: Für zwei Alternativen \mathbf{x}_a und \mathbf{x}_b ist genau dann (\mathbf{x}_a,\mathbf{x}_b)\in P bzw. \mathbf{x}_a P\mathbf{x}_b, wenn \mathbf{x}_a R\mathbf{x}_b, aber nicht zugleich \mathbf{x}_b R\mathbf{x}_a. P liest man als „ist besser als“.

Anstelle der Buchstaben R, P und I für die Relationen sind auch Symbole gebräuchlich. Es ist dann \mathbf{x}_{a}R\mathbf{x}_{b}\Leftrightarrow \mathbf{x}_{a}\succsim \mathbf{x}_{b}, \mathbf{x}_{a}P\mathbf{x}_{b}\Leftrightarrow \mathbf{x}_{a}\succ \mathbf{x}_{b} und \mathbf{x}_{a}I\mathbf{x}_{b}\Leftrightarrow \mathbf{x}_{a}\sim \mathbf{x}_{b}.

Will man ausdrücken, dass man sich auf die Präferenzstruktur einer konkreten Person I bezieht, kann man die Relation entsprechend indexieren; so steht dann zum Beispiel x_{a}P_{i}x_{b} dafür, dass Person I die Alternative x_{a} strikt gegenüber x_{b} vorzieht.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Charakteristika[Bearbeiten]

Je nach ihrer individuellen Beschaffenheit kann man die Präferenz-Indifferenz-Relation R beispielsweise auf folgende Eigenschaften hin untersuchen:[1]

  • Vollständigkeit: \forall \mathbf{x}_{a},\mathbf{x}_{b}\in X: \mathbf{x}_{a}R\mathbf{x}_{b} oder \mathbf{x}_{b}R\mathbf{x}_{a} (oder beides)
Dies stellt sicher, dass für jede Alternative auch tatsächlich ein Ranking existiert; die Vollständigkeitseigenschaft bedeutet allerdings nicht, dass auch tatsächlich eine strikte Präferenz vorliegen muss – vielmehr können zwei Alternativen ohne Widerspruch zu dieser Bedingung auch als gleichwertig empfunden werden.
Durch die Eigenschaft wird verhindert, dass es zu sogenannten zirkulären Präferenzen kommt. Dass die Präferenzstruktur ohne ihre Gültigkeit zirkulär wäre, wird durch folgendes Beispiel einsichtig: Man denke an eine Person, die Äpfel mindestens so gern hat wie Birnen und Birnen mindestens so gern wie Zitronen. Würde sie nun nicht, wie von der Transitivitätseigenschaft gefordert, auch Äpfel mindestens so gern haben wie Zitronen, dann müsste logisch notwendig das Gegenteil zutreffen: Sie hätte Zitronen lieber als Äpfel. Es wurde aber angenommen, dass sie Birnen mindestens so gern hat wie Zitronen, usw. usf., sodass die Suche nach der präferierten Option ohne die Transitivitätsannahme ergebnislos bliebe.
Gemeint ist, dass eine Alternative unabhängig von der Situation stets gleich bewertet wird (kurzum gilt also \mathbf{x}_{a}I\mathbf{x}_{a}). Die Reflexivitätseigenschaft wird klassischerweise in einer Reihe mit den beiden vorstehenden Axiomen genannt, sie folgt aber eigentlich schon aus der Vollständigkeitseigenschaft.
Zum Verständnis muss man sich wieder ins Bewusstsein rufen, dass die Alternativen Güterbündel darstellen: Wenn ein Güterbündel \mathbf{x}_{a} von jedem Gut eine mindestens so große Anzahl enthält wie ein Güterbündel \mathbf{x}_{b}, dann wird es auch mindestens so gut bewertet wie \mathbf{x}_{b}. Analog definiert ist die
  • Strenge Monotonie:[2] \forall \mathbf{x}_{a},\mathbf{x}_{b}\in X: (\mathbf{x}_{a}\geq \mathbf{x}_{b})\wedge(\mathbf{x}_{a}\neq \mathbf{x}_{b})\Rightarrow \mathbf{x}_{a}P\mathbf{x}_{b}
Wenn ein Güterbündel \mathbf{x}_{a} von jedem Gut eine mindestens so große Anzahl enthält wie ein Güterbündel \mathbf{x}_{b}, von mindestens einem Gut aber sogar eine strikt größere Anzahl, dann wird es auch strikt gegenüber \mathbf{x}_{b} präferiert. Jede streng monotone Präferenzrelation ist damit auch (schwach) monoton.
  • Lokale Nichtsättigung: Eine Präferenzrelation ist lokal nicht gesättigt, wenn für beliebiges \mathbf{x}_{a}\in X und für jede Umgebung um \mathbf{x}_{a} eine Alternative \mathbf{x}_{b} existiert, sodass \mathbf{x}_{b}P\mathbf{x}_{a}. Formal: \forall \mathbf{x}_{a}\in X\;\forall\epsilon>0\;\exists \mathbf{x}_{b}\in X: \left(\left\Vert \mathbf{x}_{a}-\mathbf{x}_{b}\right\Vert \leq\epsilon\right)\wedge \mathbf{x}_{b}P\mathbf{x}_{a}
Es gibt danach, unabhängig von der Größe der Umgebung um ein konkretes Güterbündel, immer eine Alternative, die noch strikt besser als das gegebene Güterbündel ist. Man beachte, dass die Eigenschaft strenger Monotonie eine stärkere Anforderung als diejenige der lokalen Nichtsättigung darstellt, indem sie nämlich besagt, dass in einer beliebigen Umgebung um \mathbf{x}_{a} sogar eine strikt präferierte Alternative existiert, in der von jedem Gut eine mindestens so große und von wenigstens einem Gut eine strikt größere Menge enthalten ist. Die Eigenschaft der lokalen Nichtsättigung ist insofern schwächer, indem sie darüber hinaus noch die Möglichkeit zuließe, dass beispielsweise auch eine Alternative bevorzugt werden kann, in der von einigen im Güterbündel enthaltenen Gütern geringere Mengen enthalten sind. Güter, bei denen dies zutrifft, bezeichnet man im Englischen oftmals als bads (in Abgrenzung von den goods) und meint damit, dass sie für sich genommen Schaden bringen (beispielsweise Schadstoffbelastung).
Äquivalent allgemein: Die obere Konturmenge \{\mathbf{x}_{b}\in X|\mathbf{x}_{b}R\mathbf{x}_{a}\} ist für alle \mathbf{x}_{a}\in X eine konvexe Menge (das heißt: alle oberen Konturmengen sind konvex).
  • Strikte Konvexität: \forall \mathbf{x}_{a},\mathbf{x}_{b},\mathbf{x}_{c}\in X:(\mathbf{x}_{a}R\mathbf{x}_{c}\wedge \mathbf{x}_{b}R\mathbf{x}_{c})\wedge (\mathbf{x}_{a}\neq \mathbf{x}_{b})\Rightarrow \forall t\in(0,1): (t\mathbf{x}_{a}+(1-t)\mathbf{x}_{b})P\mathbf{x}_{c}

Präferenzordnung[Bearbeiten]

Von Bedeutung sind insbesondere die ersten beiden Eigenschaften. Mit ihnen gilt nämlich:

Rationalität der Präferenz-Indifferenz-Relation[4]: Eine Präferenz-Indifferenz-Relation R ist genau dann rational, wenn sie vollständig und transitiv ist. Man bezeichnet sie dann auch als Präferenzordnung.

Es kann gezeigt werden, dass die Rationalität von R auch wichtige Auswirkungen bezüglich der von ihr induzierten Relationen hat:

Implikationen für die Präferenz- und die Indifferenzrelation[5]: Ist die Präferenz-Indifferenz-Relation R rational, dann gilt für die dadurch induzierten Relationen I und P:

  1. P ist
    • transitiv: \forall \mathbf{x}_{a},\mathbf{x}_{b},\mathbf{x}_{c}:\mathbf{x}_{a}P\mathbf{x}_{b}\wedge \mathbf{x}_{b}P\mathbf{x}_{c}\Rightarrow \mathbf{x}_{a}P\mathbf{x}_{c}.
  2. I ist
    • reflexiv: \forall \mathbf{x}_{a}:\mathbf{x}_{a}R\mathbf{x}_{a};
    • transitiv: \forall \mathbf{x}_{a},\mathbf{x}_{b},\mathbf{x}_{c}:\mathbf{x}_{a}I\mathbf{x}_{b}\wedge \mathbf{x}_{b}I\mathbf{x}_{c}\Rightarrow \mathbf{x}_{a}I\mathbf{x}_{c} und
    • symmetrisch: \forall \mathbf{x}_{a},\mathbf{x}_{b}:\mathbf{x}_{a}I\mathbf{x}_{b}\Rightarrow \mathbf{x}_{b}I\mathbf{x}_{a} .

Zur Begründung siehe der Abschnitt #Implikationen von R für P und I.

Implikationen für die Nutzenfunktion[Bearbeiten]

Für Zwecke der mathematischen Handhabbarkeit empfiehlt es sich vielmals, die erläuterten Relationen anhand von Nutzenfunktionen zu repräsentieren. Eine Funktion u ist genau dann eine Nutzenfunktion, mit der die Präferenzen abgebildet werden können, wenn \forall \mathbf{x}_{a},\mathbf{x}_{b}\in X:\mathbf{x}_{a}R\mathbf{x}_{b}\Leftrightarrow u(\mathbf{x}_{a})\geq u(\mathbf{x}_{b}). Es stellt sich allerdings die Frage, ob es für beliebige Relationen eine korrespondiere Nutzenfunktion gibt. Dies ist nicht der Fall, wie das folgende Theorem zeigt:

Repräsentierbarkeit durch eine Nutzenfunktion[6]:

  1. (Repräsentationstheorem:) Eine Präferenz-Indifferenz-Relation R kann genau dann (und nur dann) durch eine Nutzenfunktion repräsentiert werden, wenn sie rational ist.
  2. Wenn eine Präferenz-Indifferenz-Relation R nicht nur rational, sondern darüber hinaus auch noch stetig ist, dann existiert in jedem Fall eine reellwertige Nutzenfunktion u, die diese Präferenzstruktur abbildet.

Lexikographische Präferenzordnung[Bearbeiten]

→ Siehe auch: Lexikographische Ordnung

Sei durch \mathbf{x}_{i}=\left(x_{i}^{1},x_{i}^{2},\ldots,x_{i}^{m}\right) mit i=a das Güterbündel / die Alternative \mathbf{x}_{a} gegeben und mit i=b die Alternative \mathbf{x}_{b} (x_{b}^{2} ist entsprechend beispielsweise die Menge von Gut 2 im Güterbündel \mathbf{x}_{b}).

Definition[7]: Die Präferenz-Indifferenz-Relation R bezeichnet man als lexikographisch, wenn \mathbf{x}_{a}R\mathbf{x}_{b} dann und nur dann, wenn entweder x_{a}^{1}>x_{b}^{1} oder x_{a}^{1}=x_{b}^{1} und zugleich x_{a}^{2}\geq x_{b}^{2}.

Bei lexikographischen Präferenzen wird also ein Güterbündel nur dann einem anderen schwach vorgezogen (das heißt als gleich gut oder besser bewertet), wenn es von Gut 1 mehr enthält oder, falls beide Güterbündel die gleiche Menge davon enthalten, wenn es von Gut 2 jedenfalls eine mindestens so große Menge enthält – in jedem Fall ungeachtet der Mengen anderer Güter in den Güterbündeln. Lexikographische Präferenzordnungen lassen sich im Regelfall nicht durch eine Nutzenfunktion repräsentieren. Sie sind zwar rational, allerdings nicht stetig.[8]

Mathematische Grundlagen; formale Nachträge[Bearbeiten]

Im Folgenden verwendete Definitionen (teilweise Wiederholung von oben) für eine allgemeine nichtleere Menge X (B eine binäre Relation auf X):

  • Vollständigkeit: \forall \mathbf{x}_{a},\mathbf{x}_{b}\in X: \mathbf{x}_{a}B\mathbf{x}_{b} oder \mathbf{x}_{b}B\mathbf{x}_{a} (oder beides)
  • Reflexivität: \forall \mathbf{x}_{a}\in X: \mathbf{x}_{a}B\mathbf{x}_{a}
  • Irreflexivität: \forall\mathbf{x}_{a}\in X:\neg\mathbf{x}_{a}B\mathbf{x}_{a}
  • Symmetrie: \forall \mathbf{x}_{a},\mathbf{x}_{b}\in X:\mathbf{x}_{a}B\mathbf{x}_{b}\Rightarrow \mathbf{x}_{b}B\mathbf{x}_{a}
  • Asymmetrie: \forall\mathbf{x}_{a},\mathbf{x}_{b}\in X:\mathbf{x}_{a}B\mathbf{x}_{b}\Rightarrow\neg\mathbf{x}_{b}B\mathbf{x}_{a}
  • Transitivität: \forall \mathbf{x}_{a},\mathbf{x}_{b},\mathbf{x}_{c}\in X:\mathbf{x}_{a}B\mathbf{x}_{b}\wedge \mathbf{x}_{b}B\mathbf{x}_{c}\Rightarrow \mathbf{x}_{a}B\mathbf{x}_{c}
  • Negative Transitivität: \forall\mathbf{x}_{a},\mathbf{x}_{b},\mathbf{x}_{c}\in X:\left(\mathbf{x}_{a}B\mathbf{x}_{c}\Rightarrow\mathbf{x}_{a}B\mathbf{x}_{b}\vee\mathbf{x}_{b}B\mathbf{x}_{c}\right)

Implikationen von R für P und I[Bearbeiten]

Das skizzierte Konzept lässt sich verallgemeinern, sodass es unter anderem möglich wird, die drei hier betrachteten Relationen in einen formalen Zusammenhang zu stellen.

Wir vereinbaren, dass

  • die Präferenz-Indifferenz-Relation R eine vollständige Quasiordnung ist, das heißt sie ist vollständig, reflexiv und transitiv (ökonomisch entspricht dies unserer Definition der Präferenzordnung).
  • P ist der asymmetrische Teil der Quasiordnung R, das heißt es gilt:
\mathbf{x}_{a}P\mathbf{x}_{b}\Leftrightarrow\left(\mathbf{x}_{a}R\mathbf{x}_{b}\wedge\neg\mathbf{x}_{b}R\mathbf{x}_{a}\right)
  • I ist der symmetrische Teil der Quasiordnung R, das heißt es gilt:
\mathbf{x}_{a}I\mathbf{x}_{b}\Leftrightarrow\left(\mathbf{x}_{a}R\mathbf{x}_{b}\wedge\mathbf{x}_{b}R\mathbf{x}_{a}\right)

Es gelten die folgenden zentralen Aussagen:

Implikationen der Eigenschaft als Quasiordnung[9]: Sei R eine vollständige Quasiordnung auf nichtleerem X mit asymmetrischem Teil P und symmetrischem Teil I. Dann gilt:

  1. P ist (a) irreflexiv, (b) asymmetrisch, (c) negativ transitiv und (d) transitiv
  2. I ist eine Äquivalenzrelation, das heißt I ist (a) symmetrisch, (b) reflexiv und (c) transitiv.
  3. \neg\mathbf{x}_{a}P\mathbf{x}_{b}\Leftrightarrow\mathbf{x}_{b}R\mathbf{x}_{a} bzw. äquivalent \neg\mathbf{x}_{b}R\mathbf{x}_{a}\Leftrightarrow\mathbf{x}_{a}P\mathbf{x}_{b}, das heißt R ist die Negation von P (und umgekehrt).
  4. Genau eine der folgenden Aussagen ist wahr: (a) \mathbf{x}_{a}P\mathbf{x}_{b}, (b) \mathbf{x}_{b}P\mathbf{x}_{a}, (c) \mathbf{x}_{a}I\mathbf{x}_{b}.

Beweis zu 1. und 2.: (1a) Seien \mathbf{x}_{a} und \mathbf{x}_{b} beliebige Elemente aus X und sei \mathbf{x}_{a}P\mathbf{x}_{a}. Dann gilt nach Definition von P, dass \mathbf{x}_{a}R\mathbf{x}_{a} und zugleich \neg\mathbf{x}_{a}R\mathbf{x}_{a}, ein Widerspruch, also \neg\mathbf{x}_{a}P\mathbf{x}_{a}. (1b) Die Asymmetrie ergibt sich bereits aus der Definition des asymmetrischen Teils. (1c[10]) Seien \mathbf{x}_{a},\mathbf{x}_{b},\mathbf{x}_{c}\in X so, dass \mathbf{x}_{a}P\mathbf{x}_{b}\wedge\mathbf{x}_{b}P\mathbf{x}_{c}; gezeigt werden soll im Folgenden, dass dann auch \mathbf{x}_{a}P\mathbf{x}_{c}. Aus den Annahmen und der Definition von P folgt zunächst, dass \mathbf{x}_{a}R\mathbf{x}_{b}\wedge\neg\mathbf{x}_{b}R\mathbf{x}_{a} sowie \mathbf{x}_{b}R\mathbf{x}_{c}\wedge\neg\mathbf{x}_{c}R\mathbf{x}_{b}. Da also \mathbf{x}_{a}R\mathbf{x}_{b} und \mathbf{x}_{b}R\mathbf{x}_{c}, gilt wegen der Transitivität von R auch \mathbf{x}_{a}R\mathbf{x}_{c} – folglich genügt es nun, um zu zeigen, dass \mathbf{x}_{a}P\mathbf{x}_{c}, zu beweisen, dass nicht zugleich \mathbf{x}_{c}R\mathbf{x}_{a}. Beweis durch Widerspruch: Wäre \mathbf{x}_{c}R\mathbf{x}_{a}, dann auch \mathbf{x}_{b}R\mathbf{x}_{a}, da ja \mathbf{x}_{b}R\mathbf{x}_{c} gemäß obiger Folgerung aus der Definition von P, und also auch \mathbf{x}_{b}R\mathbf{x}_{a} gemäß Transitivitätseigenschaft von R. Dies widerspricht aber der oberen Einsicht, dass \neg\mathbf{x}_{b}R\mathbf{x}_{a}, folglich ist \neg\mathbf{x}_{c}R\mathbf{x}_{a} und zusammen mit \neg\mathbf{x}_{b}R\mathbf{x}_{a} (siehe oben) folgt in der Tat \mathbf{x}_{a}P\mathbf{x}_{c}, was zu zeigen war. (1d[11]) Sei \mathbf{x}_{a}P\mathbf{x}_{c}. Es ist zu zeigen, dass dann entweder \mathbf{x}_{a}P\mathbf{x}_{b} oder \mathbf{x}_{b}P\mathbf{x}_{c}. Sei nun \neg\mathbf{x}_{a}P\mathbf{x}_{b}, dann auch \mathbf{x}_{b}P\mathbf{x}_{a} (Asymmetrie). Zusammen mit der ursprünglichen Annahme folgt dann aber: \mathbf{x}_{b}P\mathbf{x}_{a}\wedge\mathbf{x}_{a}P\mathbf{x}_{c}\Rightarrow\mathbf{x}_{b}P\mathbf{x}_{c} (Transitivität), was zu beweisen war.
(2a,b) Folgt unmittelbar aus der Definition des symmetrischen Teils. (2c) Seien \mathbf{x}_{a},\mathbf{x}_{b},\mathbf{x}_{c}\in X so, dass \mathbf{x}_{a}I\mathbf{x}_{b}\wedge\mathbf{x}_{b}I\mathbf{x}_{c}; gezeigt werden soll im Folgenden, dass dann auch \mathbf{x}_{a}I\mathbf{x}_{c}. Aus den Annahmen und der Definition von I folgt zunächst, dass \mathbf{x}_{a}R\mathbf{x}_{b}\wedge\mathbf{x}_{b}R\mathbf{x}_{a} sowie \mathbf{x}_{b}R\mathbf{x}_{c}\wedge\mathbf{x}_{c}R\mathbf{x}_{b}. Gemäß Transitivität von R folgt, dass auch \mathbf{x}_{a}R\mathbf{x}_{c} (linke Seiten) und \mathbf{x}_{c}R\mathbf{x}_{a} (rechte Seiten). Damit gilt aber nach Definition des symmetrischen Teils, dass dann auch \mathbf{x}_{a}I\mathbf{x}_{c}, was zu zeigen war.

Implikationen von P für R und I[Bearbeiten]

Die dritte Aussage (3) des Theoremkastens im vorangehenden Abschnitt („Implikation der Eigenschaft als Quasiordnung“) lässt eine bedeutende Beziehung zwischen P und R offenbar werden. Im ökonomischen Kontext ist demnach die Präferenz-Indifferenz-Relation gerade die Negation einer strikten Präferenzrelation. Dies legt aber nahe, dass man die Präferenzen auch anders als bisher ausgehend von der strikten Präferenzrelation bestimmen kann, und nicht nur, wie im Rest dieses Artikels beschrieben, ausgehend von der Präferenz-Indifferenz-Relation. Man könnte praktisch fragen, ob es nicht auch möglich sein sollte, statt von den Konsumenten ihre schwachen Präferenzen „abzufragen“ („Mögen Sie Eis mindestens ebenso gern wie Kuchen?“ und „Mögen Sie Kuchen mindestens ebenso gern wie Eis?“) sondern bei den strikten Präferenzen zu beginnen („Mögen Sie Eis lieber als Kuchen?“) und daraus unter anderem die Präferenz-Indifferenz-Relation herzuleiten. Diese ist jedoch nicht in jedem Fall auch eine Quasiordnung (bzw. eine Präferenzordnung), wie das folgende Beispiel verdeutlicht.

Beispiel[12]: Sei X=\mathbb{R}_{+} und g:X\rightarrow\mathbb{R}, \mathbf{x}\mapsto g(\mathbf{x}). Definiere \mathbf{x}_{a}P\mathbf{x}_{b}\Leftrightarrow g(\mathbf{x}_{a})+c>g(\mathbf{x}_{b}) mit c>0. Sei nun g(\mathbf{x})=\mathbf{x}, dann ist die induzierte Präferenz-Indifferenz-Relation R gegeben durch \mathbf{x}_{a}R\mathbf{x}_{b}\Leftrightarrow\mathbf{x}_{b}-1\leq\mathbf{x}_{a}. Sie ist nicht transitiv, wie man durch Wahl geeigneter Beispiele verifizieren kann. Seien beispielsweise für c=1 folgende Güterkombination betrachtet: \mathbf{x}_{a}=0, \mathbf{x}_{b}=1 und \mathbf{x}_{c}=2, dann ist \mathbf{x}_{a}R\mathbf{x}_{b} und \mathbf{x}_{b}R\mathbf{x}_{c}, aber \neg\mathbf{x}_{a}R\mathbf{x}_{c}.

Das folgende Theorem bildet im ersten Teil den Ausgangspunkt für zunächst technische Überlegungen, die letzte Aussage beschreibt ein konkretes Kriterium, unter dem eine gegebene strikte Präferenzrelation eine Präferenz-Indifferenz-Relation induziert, die das Rationalitätskriterium erfüllt (d.h. eine Präferenzordnung ist).

Implikationen der Eigenschaft als strikte Präferenzordnung[13]: Sei P eine binäre Relation auf nichtleerem X und sei R die Negation von P. Dann gilt:

  1. R ist transitiv genau dann, wenn P negativ transitiv ist.
  2. Ist P zusätzlich asymmetrisch und negativ transitiv auf X, dann ist R eine Quasiordnung auf X und P ist ihr asymmetrischer Teil.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Fuad Aleskerov, Denis Bouyssou und Bernard Monjardet: Utility Maximization, Choice and Preference. 2. Aufl. Springer, Heidelberg u.a. 2007, ISBN 978-3-540-34182-6.
  • Anton Barten und Volker Böhm: Consumer Theory. In: Kenneth J. Arrow and Michael D. Intrilligator (Hrsg.): Handbook of Mathematical Economics. Bd. 2. North Holland, Amsterdam 1982, ISBN 978-0-444-86127-6, S. 382–429.
  • Friedrich Breyer: Mikroökonomik. Eine Einführung. 3. Aufl. Springer, Heidelberg u.a. 2007, ISBN 978-3-540-69230-0.
  • Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
  • Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1.
  • James C. Moore: Mathematical methods for economic theory. Bd. 1. Springer, Berlin u.a. 1995, ISBN 3-540-66235-9.
  • James C. Moore: General equilibrium and welfare economics. An introduction. Springer, Berlin u.a. 2007, ISBN 978-3-540-31407-3 (auch online: doi:10.1007/978-3-540-32223-8).
  • Hal Varian: Microeconomic Analysis. W. W. Norton, New York und London 1992, ISBN 0-393-95735-7.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Weitgehend nach Jehle/Reny 2011, S. 4–12.
  2. a b Die Monotonitätsdefinitionen folgen Varian 1992 (S. 96), werden in der Literatur aber unterschiedlich definiert. Barten/Böhm 1982 (S. 390 f.) führen das Konzept schwacher Monotonie im hier dargestellten Sinne gar nicht erst ein, sondern definieren die Eigenschaft „Monotonie“ entsprechend der hiesigen Definition strenger Monotonie. Mas-Colell/Whinston/Green 1995 (S. 42) nutzen dieselbe Definition wie hier für die strenge Monotonitätseigenschaft und definieren für die (schwache) Monotonie, R sei (schwach) monoton auf X, wenn (\mathbf{x}_{b}\in X)\wedge(\mathbf{x}_{a}>\mathbf{x}_{b})\Rightarrow \mathbf{x}_{b}P\mathbf{x}_{a}.
  3. Vgl. Varian 1992, S. 96; ebenso wie die nachfolgende Eigenschaft formal anders definiert bei Jehle/Reny 2011, S. 11. Zur angeführten allgemeinen Definition vgl. Barten/Böhm 1982, S. 391 und Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 44.
  4. Vgl. Barten/Böhm 1982; Breyer 2007, S. 117; für den Begriff der „rationalen Präferenzordnung“ siehe Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 6. Andere Autoren knüpfen gleich die ganze Bezeichnung der Relation als „Präferenz-Indifferenz-Relation“ (oder „schwache Präferenzrelation“) an die Erfüllung dieser Bedingung. Siehe so zum Beispiel Jehle/Reny 2011, S. 6.
  5. Vgl. Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 7.
  6. Zum ersten Teil vgl. Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 9, zum zweiten Jehle/Reny 2011, S. 14 ff. Für den ersten Teil ist der Beweis direkt enthalten, der (recht aufwändige) Beweis des zweiten wird bei Jehle/Reny vereinfacht, indem überdies noch die Eigenschaft strenger Monotonie vorausgesetzt wird. Zum vollständigen Beweis siehe zum Beispiel Barten/Böhm 1982, S. 388–390. Zum Begriff „Repräsentationstheorem“ vgl. Harris Selod: http://selod.ensae.net/m1/doc/m1_chapter1_quick.pdf (PDF-Datei), abgerufen am 28. März 2012.
  7. Vgl. Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 46.
  8. Hierzu ausführlich Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 46 f.
  9. Vgl. Moore 1995, S. 21, 23 ff.
  10. Vgl. Moore 2007, S. 6 f.
  11. Vgl. Moore 2007, S. 7; Aleskerov/Bouyssou/Monjardet 2007, S. 24.
  12. Ähnlich Moore 1995, S. 23.
  13. Vgl. Moore 2007, S. 8 ff.