Primelement

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Der Begriff Primelement ist in der kommutativen Algebra eine Verallgemeinerung des Begriffs der Primzahl auf kommutative unitäre Ringe.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Element eines kommutativen unitären Ringes heißt Primelement, falls weder 0 noch eine Einheit ist und für alle Elemente gilt: Teilt das Produkt , so folgt stets teilt oder teilt .

In Symbolnotation:

Primelemente sind also im Wesentlichen diejenigen Elemente, die, wenn sie in irgendeinem Produkt vorkommen, auch in mindestens einem der Faktoren vorkommen.[1]

Irreduzible Elemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine andere Verallgemeinerung des Primzahl-Begriffs bilden irreduzible Elemente, die nicht als Produkt von zwei Nicht-Einheiten dargestellt werden können. Die Begriffe Primelement und irreduzibles Element sind im Allgemeinen verschieden.

Sätze über Primelemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist ein Primelement und eine Einheit, so ist ebenfalls ein Primelement.
  • Ist ein Integritätsring, so ist jedes Primelement in irreduzibel.
  • Ist ein faktorieller Ring, so ist jedes irreduzible Element auch prim, und jedes Element von lässt sich bis auf Einheitsfaktoren (und Reihenfolge) eindeutig als Produkt von Primelementen darstellen.
  • Eine Nichteinheit von ist genau dann ein Primelement, wenn das Hauptideal ein Primideal ist.
  • Ein Körper besteht nur aus der Null und Einheiten. Folglich enthält ein Körper nie Primelemente.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Primelemente im Ring der ganzen Zahlen sind genau die Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, ...) und ihre Gegenzahlen (-2, -3, -5, -7, -11, ...).
  • Einheiten und die 0 sind per Definition keine Primelemente.
  • Im Integritätsring (enthält alle Zahlen der Form , mit ), ist die Zahl 2 irreduzibel, aber nicht prim. Das ist so, weil 6 zwar von 2 geteilt wird, sich aber als Produkt schreiben lässt, wobei keiner der Faktoren durch 2 teilbar ist.
  • Ist ein Körper und der Produktring , dann ist ein Primelement, das nicht irreduzibel ist.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, S. 201.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Primelement – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen