Primelement

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der Begriff Primelement ist in der kommutativen Algebra eine Verallgemeinerung des Begriffs der Primzahl auf kommutative unitäre Ringe.

Definition[Bearbeiten]

Ein Element c eines kommutativen unitären Ringes (R, +, \cdot, 0, 1) heißt Primelement, falls c weder 0 noch eine Einheit ist und für alle Elemente a,b \in R gilt: Teilt c das Produkt a \cdot b, so folgt stets c teilt a oder c teilt b.

In Symbolnotation: c \mbox{ ist prim } \Leftrightarrow\ c \ne 0 \land c\nmid 1 \land \forall \{a,b\}\subset R\quad c\mid a \cdot b \Rightarrow c \mid a \lor c \mid b .

Primelemente sind also im Wesentlichen diejenigen Elemente, die, wenn sie in irgendeinem Produkt vorkommen, auch in mindestens einem der Faktoren vorkommen.[1]

Irreduzible Elemente[Bearbeiten]

Eine andere Verallgemeinerung des Primzahl-Begriffs bilden irreduzible Elemente, die nicht als Produkt von zwei Nicht-Einheiten dargestellt werden können. Die Begriffe Primelement und irreduzibles Element sind im Allgemeinen verschieden.

Sätze über Primelemente[Bearbeiten]

  • Ist c ein Primelement und e eine Einheit, so ist c \cdot e ebenfalls ein Primelement.
  • Ist R ein Integritätsring, so ist jedes Primelement in R irreduzibel.
  • Ist R ein faktorieller Ring, so ist jedes irreduzible Element auch prim, und jedes Element von R  \backslash \{ 0\} lässt sich bis auf Einheitsfaktoren (und Reihenfolge) eindeutig als Produkt von Primelementen darstellen.
  • Eine Nichteinheit c \ne 0 von R ist genau dann ein Primelement, wenn das Hauptideal (c) ein Primideal ist.
  • Ein Körper besteht nur aus der Null und Einheiten. Folglich enthält ein Körper nie Primelemente.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Primelemente im Ring der ganzen Zahlen sind genau die Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, ...) und ihre Gegenzahlen (-2, -3, -5, -7, -11, ...).
  • Einheiten und die 0 sind per Definition keine Primelemente.
  • Im Integritätsring \mathbb{Z}[i\sqrt5] (enthält alle Zahlen der Form a +b \cdot i\sqrt{5}, mit a , b \in \Z), ist die Zahl 2 irreduzibel, aber nicht prim. Das ist so, weil 6 zwar von 2 geteilt wird, sich aber als Produkt (1+i\sqrt5)\cdot(1-i\sqrt5) schreiben lässt, wobei keiner der Faktoren durch 2 teilbar ist.
  • Ist K ein Körper und R der Produktring K\times K, dann ist (1,0)\in R ein Primelement, das nicht irreduzibel ist.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, S. 201.