Primmodell

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Modelltheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Logik, nennt man ein Modell einer Theorie Primmodell, wenn sich dieses Modell in jedes Modell dieser Theorie elementar einbetten lässt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden ist eine abzählbare Theorie ohne endliche Modelle.

ist ein Primmodell der Theorie genau dann, wenn für alle mit eine Abbildung existiert mit

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Aus dem Satz von Löwenheim-Skolem folgt, dass ein Primmodell abzählbar ist.
  • Ist -kategorisch, so ist das abzählbare Modell ein Primmodell.
  • Zwei Primmodelle einer Theorie sind isomorph.
  • Eine Theorie hat genau dann ein Primmodell, wenn die isolierten Typen dicht liegen.

Beispiel einer Theorie ohne Primmodell[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgende Theorie der Sprache besitzt kein Primmodell: Die Sprache enthält für jedes ein einstelliges Prädikat .

(Zur Notation: ist die Menge aller endliche Folgen, die nur aus Nullen oder Einsen bestehen.)

Die Axiome der Theorie sind ( durchläuft alle endlichen Folgen):

Die Theorie hat keine isolierten Typen und daher auch kein Primmodell.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wilfrid Hodges: Model theory. Cambridge University Press, 1993, ISBN 0-521-30442-3.
  • Chang, Chen C., Keisler, H.Jerome: Model Theory. Amsterdam [u.a.], North-Holland, 1998.
  • Prestel, Alexander: Einführung in die Mathematische Logik und Modelltheorie. Vieweg, Braunschweig 1986. (Vieweg-Studium; 60: Aufbaukurs Mathematik). ISBN 3-528-07260-1. 286 S.
  • Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 1995, ISBN 978-3-86025-461-5.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]