Primorial

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Mit Primorial (von engl. primorial) und der Primfakultät bezeichnet man das Produkt aller Primzahlen, die eine bestimmte Zahl nicht übersteigen. Die Begriffe sind eng mit der Fakultät verwandt und kommen vor allem in dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie zum Einsatz.

Der Name Primorial ist das eingedeutschte englische Wort primorial. Das Produkt der Primzahlen kleinergleich wird allerdings im Deutschen selten Primorial, noch seltener Primfakultät genannt. Meist wird es umschrieben als „Produkt der Primzahlen kleinergleich n“.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine natürliche Zahl ist die Primfakultät definiert als das Produkt aller Primzahlen kleinergleich :

.

Manchmal unterscheidet man den Spezialfall, in dem Primzahl ist, und definiert nur für diesen analog das Primorial, das für nicht-prime undefiniert bleibt.

Im Fall liegt das leere Produkt vor, der Wert der Primfakultät und des Primorials beträgt dann 1. Für Argumente , die keine Primzahlen sind, besitzt das Primorial keine Werte. Die Primfakultät liefert für diese den Wert, den die nächstkleinere Primzahl liefern würde. Im praktischen Gebrauch werden jedoch beide Begriffe meist als Synonym verwendet.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um den Wert des Primorials zu berechnen, bestimmt man zunächst alle Primzahlen kleinergleich 7. Diese sind 2, 3, 5 und 7. Das Produkt dieser vier Primzahlen liefert . Für 9 könnte man dagegen kein Primorial, wohl aber die Primfakultät berechnen - da 9 keine Primzahl ist und die nächstkleinere Primzahl die 7 und die nächstgrößere Primzahl die 11 ist, gilt .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vergleich der Fakultät (gelb) und der Primfakultät (rot)
  • Es seien und zwei benachbarte Primzahlen. Dann gilt für jede natürliche Zahl mit :
  • Für das Primorial kennt man folgende Abschätzung[1]
.
  • Ferner gilt:
Für sind die Werte kleiner als ,[2] aber mit größeren überschreiten die Werte der Funktion die Schranke und oszillieren später unendlich oft um .
  • Die Anzahl an Teilern der Primorials richtet sich nach der Funktion , d. h. die Zahl hat 2 Teiler, hat 4 Teiler, hat 8, und hat bereits Teiler usw.
Die Engel-Entwicklung (eine spezielle Stammbruch-Entwicklung) dieser Zahl bildet die Folge der Primzahlen (Siehe Folge A064648 in OEIS)

Tabelle mit Beispielwerten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

n n# Anzahl der Teiler
2 2 2
3 6 4
5 30 8
7 210 16
11 2.310 32
13 30.030 64
17 510.510 128
19 9.699.690 256
23 223.092.870 512
29 6.469.693.230 1.024
31 200.560.490.130 2.048
37 7.420.738.134.810 4.096
41 304.250.263.527.210 8.192
43 13.082.761.331.670.030 16.384
47 614.889.782.588.491.410 32.768
53 32.589.158.477.190.044.730 6.5536
59 1.922.760.350.154.212.639.070 131.072
61 117.288.381.359.406.970.983.270 262.144
67 7.858.321.551.080.267.055.879.090 524.288
71 557.940.830.126.698.960.967.415.390 1.048.576
73 40.729.680.599.249.024.150.621.323.470 2.097.152
79 3.217.644.767.340.672.907.899.084.554.130 4.194.304
83 267.064.515.689.275.851.355.624.017.992.790 8.388.608
89 23.768.741.896.345.550.770.650.537.601.358.310 16.777.216
97 2.305.567.963.945.518.424.753.102.147.331.756.070 33.554.432

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.
    Theorem 415, S. 341
  2. L. Schoenfeld: Sharper bounds for the Chebyshev functions and . II. Math. Comp. Bd. 34, Nr. 134 (1976) 337–360; dort S. 359.
    Zitiert in: G. Robin: Estimation de la fonction de Tchebychef sur le -ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction , nombre de diviseurs premiers de . Acta Arithm. XLII (1983) 367–389 (PDF 731KB); dort S. 371

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]