Primzahltupel

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Als Primzahltupel – auch prime k-Tupel – werden in der Mathematik, genauer gesagt in der Zahlentheorie, nah beieinander gelegene Primzahlen genannt. Damit wird das Konzept der Primzahlzwillinge auf Tupel beliebig vieler Primzahlen verallgemeinert. Es gelten die Bedingungen, dass nicht alle möglichen Reste bezüglich einer Primzahl \leq k im Tupel vorkommen dürfen und dass die Differenz s zwischen der kleinsten und der größten Primzahl im Primzahltupel der kleinste mögliche Wert (ohne die erste Bedingung zu verletzen) sein muss.[1]

Tupel aus Primzahlen, die nicht allen Bedingungen genügen, werden nicht Primzahltupel oder prime k-Tupel genannt. Diese haben aber unter Umständen andere Bezeichnungen, so nennt man beispielsweise Tupel von zwei Primzahlen der Form (p, p+4) Primzahlencousins (engl. cousin primes)[2] und Tupel von zwei Primzahlen der Form (p, p+6) werden auch sexy Primzahlen (engl. sexy primes)[3] genannt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist für die Primzahltupel (p_1, \dots, p_k) mit k Elementen die Menge B aller möglichen Konstellationen b (die selbst wieder k-Tupel sind) dieser Tupel bekannt, so gelten die folgenden Bedingungen:

  1. Jedes Element des Primzahltupels muss prim sein:
    \forall i \in \{ 1, \dots, k \} : p_i \in \mathbb{P}
  2. Es dürfen nicht alle möglichen Reste bezüglich einer Primzahl \leq k im Tupel vorkommen. Anders formuliert, muss es bezüglich jeder Primzahl \leq k mindestens eine Restklasse geben, in welche keine Primzahl des Tupels fällt. Formal:
    \forall m \in \left \{ x \in \mathbb{P} \mid x \leq k \right \} \exists r \in \left \{ x \in \mathbb{N} \mid x < m \right \} \forall i \in \{ 1, \dots, k \}: p_i \not\equiv r \mod m
    Lies: Für alle primen Module m kleiner-gleich k existiert ein Rest r kleiner als m, der zu allen Primzahlen im Primzahltupel nicht kongruent ist bezüglich dem Modul m.
    Die Aussagen "[...] zu allen [...] nicht [...]" und "[...] zu keiner [...]" sind äquivalent, siehe Quantor.
  3. Die Differenz zwischen dem kleinsten und dem größten Element des Tupels muss gleich sein wie der k-spezifische Minimalwert (der der kleinste Wert ist, der die Bedingung 2. nicht verletzt):
    \max\left ( \left \{ p_i \mid i \in \{ 1, \dots, k \} \right \} \right ) - \min\left ( \left \{ p_i \mid i \in \{ 1, \dots, k \} \right \} \right ) = s
  4. Die Differenzen der Elemente zum ersten Element p_1 müssen gleich sein wie die Werte einer (aber derselben für alle Elemente) Konstellation:
    \exists b \in B \; \forall i \in \{ 1, \dots, k \}: a_i - a_1 = b_i
    Wobei b_i für das i-te Element aus dem k-Tupel b steht.

Für vorgegebene, korrekte Konstellationen b ist sowohl die Bedingung 2. als auch 3. hinfällig. Analog gilt das umgekehrte: Aus 2. und 3. erschließen sich sämtliche korrekte Konstellationen b.

Für prime 2-Tupel (also k=2) – die auch als Primzahlzwillinge bekannt sind –, sind s und B wohlbekannt. Diese lauten:

s=2
B = \left \{ \left ( 0,2 \right ) \right \}

Die vier oben genannten Bedingungen lauten nun für prime 2-Tupel (p_1, p_2):

  1. p_1, p_2 \in \mathbb{P}
  2. \left ( p_1 \equiv p_2 \equiv 0 \mod 2 \right ) \vee \left ( p_1 \equiv p_2 \equiv 1 \mod 2 \right )
  3. \max(p_1, p_2) - \min(p_1, p_2) = s = 2
  4. \left ( p_1 - p_1 = b_1 = 0 \right ) \wedge \left ( p_2 - p_1 = b_2 = 2 \right )

Durch die Bedingung 2 wird für jedes k eine endliche Anzahl an primen k-Tupeln ausgeschlossen. Im Falle k=2 wird die Konstellation b_2 = (0,1) bzw. das Primzahltupel (2,3) ausgeschlossen. Diese ausgeschlossene Konstellation hat eine maximale Differenz von s=1 und da alle prime k-Tupel dieselbe maximale Differenz haben müssen, so gäbe es ohne die zweite Bedingung lediglich ein einziges primes 2-Tupel. Der Grund liegt darin, dass – wenn alle Restklassen bezüglich dem Modul m vorkommen – alle größeren Tupel nach einer Konstellation b, welche durch Bedingung 2 ausgeschlossen worden wäre, genau ein Vielfaches vom Modul m enthalten. Im Falle von b = (0,1) kann man sagen, dass alle primen 2-Tupel nach dieser Konstellation b in der Form (n+0, n+1) für n \in \mathbb{N} darstellbar sind. Hier wird recht offensichtlich deutlich, dass für alle n > 2 entweder p_1 oder p_2 größer als und teilbar durch 2 ist (wodurch die Bedingung 1 verletzt wird).

Sonderfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die kleinsten k-Werte haben sich spezielle Bezeichnungen etabliert. Die Konstellationen, sowie die kleinsten und die größten bekannten zugehörigen Primzahltupel werden weiter unten im Abschnitt Konstellationen aufgelistet.

Primzahlzwilling[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Primzahlzwilling

Primzahldrilling[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Primzahldrillinge sind Elemente primer 3-Tupel, es gilt also k=3. 3-Tupel werden auch Tripel genannt, womit Primzahldrillinge auch prime Tripel oder Primzahl-Tripel genannt werden können. Alle primen Tripel enthalten ebenfalls ein Paar Primzahlzwillinge. Bei Primzahldrillingen der Form (p, p+2, p+6) bilden die beiden ersten, bei jenen der Form (p, p+4, p+6) die beiden letzten Primzahlen das erwähnte Paar Primzahlzwillinge. Die Konstellation (p, p+2, p+4) ist nach der zweiten Bedingung der Definition inkorrekt bezüglich dem Modul m = 3.

Zwei Primzahl-Tripel, die zwei gemeinsame Primzahlen haben, jedoch nicht drei, bilden diese ein Primzahl-Quadrupel, sind also auch Primzahlvierlinge.

Wenn eine Primzahl Teil von drei unterschiedlichen Primzahl-Tripel ist, so bilden die beinhalteten Primzahlen zugleich auch ein Primzahl-Quintupel, sind also zugleich auch Primzahlfünflinge.

Ob es unendlich viele Primzahldrillinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren. Im Jahre 2013 gelang es James Maynard und Terence Tao zu zeigen, dass es unendlich viele Dreiergruppen von Primzahlen gibt, deren Differenz höchstens 400.000 ist.[4] Ihr Beweis verwendet Ergebnisse aus der Arbeit Zhang Yitangs zu Primzahlzwillingen. Um die Existenz unendlich vieler tatsächlicher Primzahldrillinge zu beweisen, müsste diese Obergrenze auf 6 reduziert werden.

2013 wurde das bisher größte Primzahl-Triplett mit 16.737 Dezimalstellen gefunden. Es lautet 6.521.953.289.619 × 255.555 + d mit d = −5, −1, 1.[5]

Es folgt eine Liste der Primzahldrillinge bis 1000 (Folge A098420 in OEIS):

p (p+2) (p+4) (p+6)
5 7 11
7 11 13
11 13 17
13 17 19
17 19 23
37 41 43
41 43 47
67 71 73
97 101 103
101 103 107
p (p+2) (p+4) (p+6)
103 107 109
107 109 113
191 193 197
193 197 199
223 227 229
227 229 233
277 281 283
307 311 313
311 313 317
347 349 353
p (p+2) (p+4) (p+6)
457 461 463
461 463 467
613 617 619
641 643 647
821 823 827
823 827 829
853 857 859
857 859 863
877 881 883
881 883 887

Primzahlvierling[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Primzahlvierlinge sind Elemente primer 4-Tupel, es gilt also k=4. 4-Tupel werden auch Quadrupel genannt, was die Bezeichnungen prime Quadrupel oder Primzahl-Quadrupel legitimiert. Für Primzahl-Quadrupel existiert nur eine korrekte Konstellation. Mit der einzigen Ausnahme (5, 7, 11, 13) lässt sich jedes Primzahl-Quadrupel sowohl in der Form (p, p+2, p+6, p+8) als auch in der Form (15n-4, 15n-2, 15n+2, 15n+4) schreiben. Die Zahl in der Mitte ist daher immer durch 15 teilbar und die Summe der Primzahlen des Quadrupels ist immer durch 60 teilbar. Die Zahlen enden im Dezimalsystem also immer mit 1, 3, 7 und 9.

Alle primen Quadrupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von 4 zueinander.

Alle primen Quadrupel enthalten zwei sich überlappende Primzahl-Tripel nach unterschiedlichen Konstellationen.

Ob es unendlich viele Primzahlvierlinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren. Im Jahre 2013 gelang es James Maynard und Terence Tao zu zeigen, dass es unendlich viele Vierergruppen von Primzahlen gibt, deren Differenz höchstens 25 Millionen ist.[4] Ihr Beweis verwendet Ergebnisse aus der Arbeit Zhang Yitangs zu Primzahlzwillingen. Um die Existenz unendlich vieler tatsächlicher Primzahlvierlinge zu beweisen, müsste diese Obergrenze auf 8 reduziert werden.

Gemäß der Hardy-Littlewood-Vermutung ist die Anzahl der Primzahlvierlinge kleiner als x asymptotisch durch die Formel

C_4 \int_2^x\!\frac{\mathrm dt}{(\ln t)^4} \qquad\text{ mit }\qquad C_4 = \frac{27}{2} \prod_{p>4\atop p\;\text{prim}} \frac{p^3 (p-4)}{(p-1)^4} = 4{,}15118\text{ }08632\text{ }37415\text{ }75716...

(Folge A061642 in OEIS) gegeben.

Der bisher größte Primzahlvierling hat 3503 Dezimalstellen, wurde 2013 von Serge Batalov gefunden und ist gegeben durch 2.339.662.057.597 × 103490 + d mit d = 1, 3, 7, 9.[6]

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlvierlinge bis 170000:

p (p+2) (p+6) (p+8)
n (15n-4) (15n-2) (15n+2) (15n+4)
- 5 7 11 13
1 11 13 17 19
7 101 103 107 109
13 191 193 197 199
55 821 823 827 829
99 1481 1483 1487 1489
125 1871 1873 1877 1879
139 2081 2083 2087 2089
217 3251 3253 3257 3259
231 3461 3463 3467 3469
377 5651 5653 5657 5659
629 9431 9433 9437 9439
867 13001 13003 13007 13009
1043 15641 15643 15647 15649
1049 15731 15733 15737 15739
1071 16061 16063 16067 16069
p (p+2) (p+6) (p+8)
n (15n-4) (15n-2) (15n+2) (15n+4)
1203 18041 18043 18047 18049
1261 18911 18913 18917 18919
1295 19421 19423 19427 19429
1401 21011 21013 21017 21019
1485 22271 22273 22277 22279
1687 25301 25303 25307 25309
2115 31721 31723 31727 31729
2323 34841 34843 34847 34849
2919 43781 43783 43787 43789
3423 51341 51343 51347 51349
3689 55331 55333 55337 55339
4199 62981 62983 62987 62989
4481 67211 67213 67217 67219
4633 69491 69493 69497 69499
4815 72221 72223 72227 72229
5151 77261 77263 77267 77269
p (p+2) (p+6) (p+8)
n (15n-4) (15n-2) (15n+2) (15n+4)
5313 79691 79693 79697 79699
5403 81041 81043 81047 81049
5515 82721 82723 82727 82729
5921 88811 88813 88817 88819
6523 97841 97843 97847 97849
6609 99131 99133 99137 99139
6741 101111 101113 101117 101119
7323 109841 109843 109847 109849
7769 116531 116533 116537 116539
7953 119291 119293 119297 119299
8147 122201 122203 122207 122209
9031 135461 135463 135467 135469
9611 144161 144163 144167 144169
10485 157271 157273 157277 157279
11047 165701 165703 165707 165709
11123 166841 166843 166847 166849

Die ersten Zahlen dieser Primzahlvierlinge lauten 5, 11, 101, 191, 821, 1481, 1871, 2081, … (Folge A007530 in OEIS)

Primzahlfünfling[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Primzahlfünflinge sind Elemente primer 5-Tupel, es gilt also k=5. 5-Tupel werden auch Quintupel genannt, worauf hin Tupel von Primzahlfünflingen auch prime Quintupel oder Primzahl-Quintupel genannt werden. Für Primzahlfünflinge existieren zwei Konstellationen. Es lässt sich jeder Primzahlfünfling entweder in der Form (p-4, p, p+2, p+6, p+8) oder in der Form (p, p+2, p+6, p+8, p+12) schreiben.

Die Zahlen enden im Dezimalsystem (bis auf das erste Quintupel (5, 7, 11, 13, 17)) immer mit 7, 1, 3, 7 und 9 oder 1, 3, 7, 9 und 3.

Alle primen Quintupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von 4 zueinander.

Alle primen Quintupel enthalten drei sich überlappende Primzahl-Tripel.

Alle primen Quintupel enthalten ein primes-Quadrupel.

Ob es unendlich viele Primzahlfünflinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren. Selbst wenn man beweisen könnte, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, ist noch nicht bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlfünflinge gibt. Ebenso reicht es nicht aus, wenn man beweisen könnte, dass es unendlich viele Primzahldrillinge gibt.

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlfünflinge bis 200000:

(p−4) p (p+2) (p+6) (p+8) (p+12)
5 7 11 13 17
7 11 13 17 19
11 13 17 19 23
97 101 103 107 109
101 103 107 109 113
1481 1483 1487 1489 1493
1867 1871 1873 1877 1879
3457 3461 3463 3467 3469
5647 5651 5653 5657 5659
15727 15731 15733 15737 15739
16057 16061 16063 16067 16069
16061 16063 16067 16069 16073
19417 19421 19423 19427 19429
(p−4) p (p+2) (p+6) (p+8) (p+12)
19421 19423 19427 19429 19433
21011 21013 21017 21019 21023
22271 22273 22277 22279 22283
43777 43781 43783 43787 43789
43781 43783 43787 43789 43793
55331 55333 55337 55339 55343
79687 79691 79693 79697 79699
88807 88811 88813 88817 88819
101107 101111 101113 101117 101119
144161 144163 144167 144169 144173
165701 165703 165707 165709 165713
166841 166843 166847 166849 166853
195731 195733 195737 195739 195743

Die ersten Zahlen dieser Primzahlfünflinge mit p−4 lauten 7, 97, 1867, 3457, 5647, 15727, 16057, 19417, … (Folge A022007 in OEIS)

Die ersten Zahlen dieser Primzahlfünflinge mit p+12 lauten 5, 11, 101, 1481, 16061, 19421, 21011, … (Folge A022006 in OEIS)

Primzahlsechsling[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Primzahlsechslinge sind Elemente primer 6-Tupel, es gilt also k=6. 6-Tupel werden auch Sextupel genannt, worauf hin Tupel von Primzahlsechslingen auch prime Sextupel oder Primzahl-Sextupel genannt werden. Für Primzahlsechslinge existiert nur eine korrekte Konstellation. Es lässt sich jeder Primzahlsechsling sowohl in der Form (p, p+4, p+6, p+10, p+12, p+16) als auch in der Form (15n-8, 15n-4, 15n-2, 15n+2, 15n+4, 15n+8) schreiben. Die Zahl in der Mitte ist daher immer durch 15 teilbar und die Summe der Primzahlen des Sextupels ist immer durch 90 teilbar. Die Zahlen enden im Dezimalsystem also immer mit 7, 1, 3, 7, 9 und 3.

Alle primen Sextupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von 6 zueinander.

Alle primen Sextupel enthalten vier Primzahl-Tripel mit je zwei unterschiedlichen Konstellationen.

Alle primen Sextupel enthalten ein Primzahl-Quadrupel in der Mitte.

Alle primen Sextupel enthalten zwei Primzahl-Quintupel nach unterschiedlichen Konstellationen.

Ob es unendlich viele Primzahlsechslinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren.

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlsechslinge bis 3.000.000:

p (p+4) (p+6) (p+10) (p+12) (p+16)
n (15n-8) (15n-4) (15n-2) (15n+2) (15n+4) (15n+8)
1 7 11 13 17 19 23
7 97 101 103 107 109 113
1071 16057 16061 16063 16067 16069 16073
1295 19417 19421 19423 19427 19429 19433
2919 43777 43781 43783 43787 43789 43783
72751 1091257 1091261 1091263 1091267 1091269 1091273
107723 1615837 1615841 1615843 1615847 1615849 1615853
130291 1954357 1954361 1954363 1954367 1954369 1954373
188181 2822707 2822711 2822713 2822717 2822719 2822723
189329 2839927 2839931 2839933 2839937 2839939 2839943

Die ersten Zahlen dieser Primzahlsechslinge lauten 7, 97, 16057, 19417, 43777, 1091257, … (Folge A022008 in OEIS)

Primzahlachtling[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Primzahlachtlinge sind Elemente primer 8-Tupel, es gilt also k=8. 8-Tupel werden auch Oktupel genannt, was für Tupel zusammengehöriger Primzahlachtlinge auch die Bezeichnungen prime Oktupel oder Primzahl-Oktupel rechtfertigt. Es lässt sich jeder Primzahlachtling in einer der drei folgenden Konstellationen schreiben:


\begin{align}
(p, & \quad p+2, & p+6, & \quad p+8, & p+12, & \quad p+18, & p+20, & \quad p+26) \\
(p, & \quad p+2, & p+6, & \quad p+12, & p+14, & \quad p+20, & p+24, & \quad p+26) \\
(p, & \quad p+6, & p+8, & \quad p+14, & p+18, & \quad p+20, & p+24, & \quad p+26)
\end{align}

Alle primen Oktupel enthalten drei Paare von Primzahlzwillingen.

Alle primen Oktupel enthalten drei Primzahl-Tripel.

Die primen Oktupel der Konstellation (p, p+2, p+6, p+8, p+12, p+18, p+20, p+26) enthalten ein Primzahl-Quadrupel zu Beginn.

Die primen Oktupel der Konstellation (p, p+2, p+6, p+12, p+14, p+20, p+24, p+26) enthalten kein Primzahl-Quadrupel.

Die primen Oktupel der Konstellation (p, p+6, p+8, p+14, p+18, p+20, p+24, p+26) enthalten ein Primzahl-Quadrupel am Ende.

Die primen Oktupel der Konstellation (p, p+2, p+6, p+8, p+12, p+18, p+20, p+26) enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form (p, p+2, p+6, p+8, p+12) zu Beginn.

Die primen Oktupel der Konstellation (p, p+2, p+6, p+12, p+14, p+20, p+24, p+26) enthalten kein Primzahl-Quintupel.

Die primen Oktupel der Konstellation (p, p+6, p+8, p+14, p+18, p+20, p+24, p+26) enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form (p-4, p, p+2, p+6, p+8) am Ende.

Alle primen Oktupel enthalten kein Primzahl-Sextupel.

Ob es unendlich viele Primzahlachtlinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren.

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlachtlinge bis 100.000.000:

p (p+2) (p+6) (p+8) (p+12) (p+14) (p+18) (p+20) (p+24) (p+26)
11 13 17 19 23 29 31 37
17 19 23 29 31 37 41 43
1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303
88793 88799 88801 88807 88811 88813 88817 88819
113147 113149 113153 113159 113161 113167 113171 113173
284723 284729 284731 284737 284741 284743 284747 284749
855713 855719 855721 855727 855731 855733 855737 855739
1146773 1146779 1146781 1146787 1146791 1146793 1146797 1146799
2580647 2580649 2580653 2580659 2580661 2580667 2580671 2580673
6560993 6560999 6561001 6561007 6561011 6561013 6561017 6561019
15760091 15760093 15760097 15760099 15760103 15760109 15760111 15760117
20737877 20737879 20737883 20737889 20737891 20737897 20737901 20737903
25658441 25658443 25658447 25658449 25658453 25658459 25658461 25658467
58208387 58208389 58208393 58208399 58208401 58208407 58208411 58208413
69156533 69156539 69156541 69156547 69156551 69156553 69156557 69156559
73373537 73373539 73373543 73373549 73373551 73373557 73373561 73373563
74266253 74266259 74266261 74266267 74266271 74266273 74266277 74266279
76170527 76170529 76170533 76170539 76170541 76170547 76170551 76170553
93625991 93625993 93625997 93625999 93626003 93626009 93626011 93626017

Die ersten Zahlen dieser Primzahlachtlinge der 1.Konstellation lauten 11,15760091,25658441,93625991,182403491, … (Folge A022011 in OEIS)

Die ersten Zahlen dieser Primzahlachtlinge der 2.Konstellation lauten 17, 1277, 113147, 2580647, 20737877, … (Folge A022012 in OEIS)

Die ersten Zahlen dieser Primzahlachtlinge der 3.Konstellation lauten 88793, 284723, 855713, 1146773, 6560993, … (Folge A022013 in OEIS)

Konstellationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden steht n\# für die Primfakultät, also für das Produkt aller Primzahlen \leq n. Formal: n\# = \prod_{ p \in [1,n] \cap \mathbb{P} } p

k s Konstellation b[7] Kleinstes Primzahltupel[8] Größtes bekanntes Primzahltupel (Stand: 16. März 2016)[9] Stellen
2 2 (0, 2) (3, 5) 3756801695685 · 2666669 - 1 + b 200700
3 6 (0, 2, 6)
(0, 4, 6)
(5, 7, 11)
(7, 11, 13)
3221449497221499 · 234567 - 1 + b
6521953289619 · 255555 - 5 + b
10422
16737
4 8 (0, 2, 6, 8) (5, 7, 11, 13) 4122429552750669 · 216567 - 1 + b 5003
5 12 (0, 2, 6, 8, 12)
(0, 4, 6, 10, 12)
(5, 7, 11, 13, 17)
(7, 11, 13, 17, 19)
699549860111847 · 24244 - 1 + b
163252711105 · 3371# : 2 - 8 + b
1293
1443
6 16 (0, 4, 6, 10, 12, 16) (7, 11, 13, 17, 19, 23) 28993093368077 · 2400# + 19417 + b 1037
7 20 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20)
(0, 2, 8, 12, 14, 18, 20)
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31)
(5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659)
4079068497377 · 739# : 14 - 4 + b
251733155478 · 650# + 1146779 + b
319
282
8 26 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26)
(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26)
(0, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 26) 
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37)
(17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43)
(88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)
330846961 · 503# + 349129635971 + b
29995576270632 · 550# + 1277 + b
12874261020824 · 465# + 88793 + b
218
236
206
9 30 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30)
(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30)
(0, 4, 10, 12, 18, 22, 24, 28, 30) 
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43)
(17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47)
(88789, 88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)
3336884 · 331# + 80877403191701 + b
24698258 · 239# + 28606476153371 + 6 + b
118557188915212 · 260# + 25658441 + 2 + b
68663510211259 · 337# + 88789 + b
140
104
118
150
10 32 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32)
(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 32)
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43)
(9853497737, …)
118557188915212 · 260# + 25658441 + b
613176722801194 · 151# + 177321217 + 10 + b
118
75
11 36 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 36)
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47)
(1418575498573, …)
24698258 · 239# + 28606476153371 + b
613176722801194 · 151# + 177321217 + 6 + b
104
75
12 42 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42)
(0, 6, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 34, 36, 40, 42)
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53)
(1418575498567, …)
467756 · 151# + 193828829641176461 + b
613176722801194 · 151# + 177321217 + b
66
75
13 48 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48)
(0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48)
(0, 2, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 36, 46, 48)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48)
(0, 6, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 48) 
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59)
(7697168877290909, …)
(10527733922579, …)
(1707898733581273, …)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61)
(186460616596321, …)
14815550 · 107# + 4385574275277311 + b
381955327397348 · 80# + 18393209 + b
10527733922579 + b
1707898733581273 + b
14815550 · 107# + 4385574275277311 + 2 + b
381955327397348 · 80# + 18393209 + 2 + b
50
46
14
16
50
46
14 50 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50)
(0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 50) 
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61)
(79287805466244209, …)
14815550 · 107# + 4385574275277311 + b
381955327397348 · 80# + 18393209 + b
50
46
15 56 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50, 56)
(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56)
(0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56)
(0, 6, 8, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 38, 44, 48, 50, 54, 56)
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67)
(17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73)
(1158722981124148367, …)
(14094050870111867483, …)
107173714602413868775303366934621 + b
10004646546202610858599716515809907 + b
1003234871202624616703163933853 + 4 + b
1179182744110031765933 + b
33
35
31
22
16 60 (0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 60)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60)
(47710850533373130107, …)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73)
5867208169546174917450987997 + 10 + b
1003234871202624616703163933853 + b
28
31
17 66 (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 62, 66)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66)
(0, 4, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 64, 66)
(0, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 32, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 60, 62, 66) 
(17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79)
(734975534793324512717947, …)
(1620784518619319025971, …)
100845391935878564991556707107 + b
11413975438568556104209245223 + b
5867208169546174917450987997 + b
5867208169546174917450987997 + 4 + b
30
29
28
28
18 70 (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66, 70)
(0, 4, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 64, 66, 70)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83)
(2845372542509911868266807, …)
183837276562811649018077773 + b
5867208169546174917450987997 + b
27
28
19 76 (0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 66, 70, 72, 76)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66, 70, 76)
(0, 4, 6, 10, 16, 22, 24, 30, 34, 36, 42, 46, 52, 60, 64, 66, 70, 72, 76)
(0, 6, 10, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 42, 46, 48, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 76) 
kein Primzahltupel nach dieser Konstellation bekannt
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89)
(37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113)
(630134041802574490482213901, …)
kein Primzahltupel nach dieser Konstellation bekannt
13 + b
138433730977092118055599751669 + 8 + b
2406179998282157386567481191 + b
--
2
30
28
20 80 (0, 2, 6, 8, 12, 20, 26, 30, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 62, 66, 68, 72, 78, 80)
(0, 2, 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80) 
(14374153072440029138813893241, …)
(29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109)
187976201367296936422347098471 + b
140661282456312925227370009589 + b
30
30
21 84 (0, 2, 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80, 84)
(0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 66, 70, 72, 76, 82, 84) 
(29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113)
kein Primzahltupel nach dieser Konstellation bekannt
138433730977092118055599751669 + b
kein Primzahltupel nach dieser Konstellation bekannt
30
--

Es existiert für jedes beliebig hohe k mindestens eine dazugehörige Konstellation. Solche lassen sich mit Computerhilfe mit einem simplen Brute-Force-Algorithmus finden.[10] Das Finden von Primzahltupeln zu vorgegebenen Konstellationen ist insbesondere für höhere k mit großem Rechenaufwand verbunden.

Anzahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der trivial zu beweisende Satz von Euklid sagt aus, dass unendlich viele Primzahlen existieren. Die sehr ähnlich erscheinende Fragestellung, ob es unendlich viele Primzahlenzwillinge, -drillinge, etc. gibt, konnte jedoch bis heute noch nicht geklärt werden. Bislang konnte lediglich bewiesen werden, dass unendlich viele Primzahlen mit einem Abstand zueinander von maximal 246 existieren.

Hauptartikel: Hardy-Littlewood-Vermutung

Laut der unbewiesenen ersten Hardy-Littlewood-Vermutung ist die Anzahl der primen k-Tupel bis zu einer Grenze asymptotisch zu einer in der Vermutung aufgestellten Formel.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Prime Constellation. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.
  2. Eric W. Weisstein: Cousin Primes. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.
  3. Eric W. Weisstein: Sexy Primes. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.
  4. a b "Bounded gaps between primes - Polymath1Wiki". Abgerufen am 13. Juni 2014.
  5. Yates, Caldwell: The Largest Known Primes
  6. Yates, Caldwell: The Largest Known Primes
  7. "Patterns". Abgerufen am 11. Juni 2014.
  8. "Smallest Prime k-tuplets". Abgerufen am 11. Juni 2014.
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