Primzerlegung (Topologie)

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In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet Primzerlegung eine Zerlegung von Mannigfaltigkeiten in "Primkomponenten".

Prim-Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine geschlossene zusammenhängende -dimensionale Mannigfaltigkeiten ist eine Prim-Mannigfaltigkeit, wenn sie sich nicht als zusammenhängende Summe zerlegen lässt, also wenn aus

folgt, dass oder homöomorph zur Sphäre ist.

Prim-Zerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Prim-Zerlegung einer geschlossenen zusammenhängenden -dimensionalen Mannigfaltigkeit wird eine Zerlegung als zusammenhängende Summe von endlich vielen Prim-Mannigfaltigkeiten bezeichnet, also

mit Prim-Mannigfaltigkeiten (den Primkomponenten).

Existenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Poincaré-Vermutung folgt, dass jede geschlossene zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeit eine Primzerlegung besitzt. Tatsächlich lässt sich nach dem Satz von Grushko-Neumann jede endlich erzeugte Gruppe als freies Produkt unzerlegbarer Gruppen zerlegen. Weil (in Dimensionen ) die Fundamentalgruppe der zusammenhängenden Summe das freie Produkt der Fundamentalgruppen der einzelnen Summanden ist, kann man dann jede 3-Mannigfaltikgeit als zusammenhängende Summe endlich vieler Mannigfaltigkeiten nichttrivialer Fundamentalgruppe mit (a priori) weiteren einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten zerlegen, letztere müssen aber nach der Poincaré-Vermutung homöomorph zur Sphäre sein.

Im Fall 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten war die Existenz einer Prim-Zerlegung bereits 1924, also lange vor dem Beweis der Poincaré-Vermutung, von Kneser bewiesen worden. Seine Methoden wurden später von Haken zum Beweis der Endlichkeit von Hierarchien inkompressibler Flächen in Haken-Mannigfaltigkeiten verallgemeinert.

Kneser bewies, dass sich jede Zerlegung der Fundamentalgruppe einer geschlossenen 3-Mannigfaltigkeit als freies Produkt durch eine zusammenhängende Summe mit realisieren lässt. Das analoge Problem in höheren Dimensionen war als Kneser-Vermutung bekannt, es gibt aber in allen Dimensionen Gegenbeispiele zu dieser Vermutung.[1][2]

Die Prim-Zerlegung spielt eine wichtige Rolle in der Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten.

Eindeutigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Prim-Zerlegung geschlossener, orientierbarer 3-Mannigfaltigkeiten ist eindeutig (bis auf Umordnen und Homöomorphismen), das wurde 1962 von Milnor bewiesen.

In höheren Dimensionen gilt die Eindeutigkeit nicht, zum Beispiel ist

.

Auch für nicht-orientierbare Mannigfaltigkeiten gilt die Eindeutigkeit der Primzerlegung nicht, Gegenbeispiele gibt es bereits in Dimension 2.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Hellmuth Kneser: Ein topologischer Zerlegungssatz. Proc. Konink. Nederl. Akad. Wetensch. 27 (1924), 601—616.
  • John Milnor: A unique decomposition theorem for 3-manifolds. Amer. J. Math. 84 1962 1–7.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Kreck, Matthias; Lück, Wolfgang; Teichner, Peter: Counterexamples to the Kneser conjecture in dimension four. Comment. Math. Helv. 70 (1995), no. 3, 423–433.pdf
  2. Cappell, Sylvain E.: On connected sums of manifolds. Topology 13 (1974), 395–400.