Prisma (Geometrie)

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Ein Prisma mit einem Sechseck als Grundfläche

Ein Prisma (Mehrzahl: Prismen) ist ein geometrischer Körper, der durch Parallelverschiebung eines ebenen Vielecks entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht (man spricht auch von einer Extrusion des Vielecks). Ein Prisma ist damit ein spezielles Polyeder.

Das gegebene Vieleck wird als Grundfläche bezeichnet, die gegenüberliegende Seite (oder Begrenzungsfläche) als Deckfläche. Die Gesamtheit aller übrigen Begrenzungsflächen heißt Mantelfläche. Die Seitenkanten des Prismas, die Grund- und Deckfläche verbinden, sind zueinander parallel und alle gleich lang. Grund- und Deckfläche sind zueinander kongruent (deckungsgleich) und parallel.

Schiefes, gerades und reguläres Prisma[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

A: gerades Prisma; B: schiefes Prisma
Spezialfall eines schiefen Prismas: Parallelepiped, hier sogar ein Rhomboeder

Erfolgt die Parallelverschiebung des Vielecks senkrecht zur Grundfläche, spricht man von einem geraden Prisma, ansonsten von einem schiefen Prisma. Die Mantelfläche eines geraden Prismas besteht aus Rechtecken, im allgemeinen Fall besteht sie aus Parallelogrammen. Ein gerades Prisma mit einem Regelmäßigen Vieleck als Grundfläche wird als reguläres Prisma bezeichnet.

Der zu einem geraden Prisma duale Körper ist eine Doppelpyramide (auch: Bipyramide).

Sonderfälle und Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine besondere Form des Prismas ist der Quader. Beim Quader kann jede Seite als Grundfläche des Prismas aufgefasst werden.

In der Optik versteht man unter einem Prisma meistens ein gerades Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche, siehe Prisma (Optik).

Das Prisma ist in der Mathematik ein Spezialfall des allgemeinen Zylinders.

Symmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jedes Prisma (selbst ein schiefes) mit einer punktsymmetrischen Grundfläche ist selbst punktsymmetrisch.

Formeln für Volumen, Mantel- und Oberfläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Volumen eines Prismas ist gegeben durch

,

wobei den Flächeninhalt der Grundfläche und die Höhe des Prismas bezeichnet. Aus dem Prinzip von Cavalieri folgt, dass zwei Prismen (etwa ein gerades und ein schiefes Prisma) bei gleicher Grundfläche und Höhe das gleiche Volumen besitzen.

Die Mantelfläche eines geraden Prismas ist gegeben durch

,

wobei für den Umfang der Grundfläche und für die Höhe des Prismas steht. Die gesamte Oberfläche eines Prismas ergibt sich aus

,

wobei und dem Inhalt von Grund- und Mantelfläche entsprechen.

Umkugel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nur gerade Prismen mit einer Grundfläche, welche einen Umkreis besitzt, haben eine Umkugel. Alle regulären Prismen und alle geraden Dreiecksprismen besitzen daher eine Umkugel. Der Radius der Umkugel bei gegebener Höhe und gegebenem Umkreisradius berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras zu:

Inkugel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sowohl gerade wie auch schiefe Prismen können eine Inkugel haben.

Bei gegebener Höhe eines Prismas ergibt sich der Radius der Inkugel zu:

Voraussetzung für die Existenz einer Inkugel:

  1. Es gibt eine gedachte Ebene, die senkrecht auf allen Parallelogrammen des Mantels steht. (Der Schnitt dieser Ebene mit den Parallelogrammen ergibt ein Polygon)
  2. Das Polygon aus 1 besitzt einen Inkreis.
  3. Der Radius dieses Inkreises beträgt .

Kantenkugel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nur gerade Prismen mit einem regelmäßigen Polygon als Grundfläche und gleicher Länge aller Kanten haben eine Kantenkugel. Der Mantel solcher Prismen wird also aus Quadraten gebildet. Bei gegebenem Umkreisradius ergibt sich der Radius der Kantenkugel zu:

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Prismen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Prisma – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen