Projektive Gerade

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In der Mathematik, insbesondere der projektiven Geometrie ist die projektive Gerade ein eindimensionaler projektiver Raum.

Definition[Bearbeiten]

Es sei K ein Körper, zum Beispiel der Körper der reellen oder komplexen Zahlen oder ein endlicher Körper. Es sei V=K^2 der (bis auf Isomorphie eindeutige) zweidimensionale K-Vektorraum. Die projektive Gerade P^1K ist die Menge der eindimensionalen Untervektorräume von V.

Mit anderen Worten: die projektive Gerade ist der Quotientenraum

P^1K=(K^2\setminus\left\{0\right\})/\sim

bezüglich der Äquivalenzrelation

(x_1,y_1)\sim(x_2,y_2)\Longleftrightarrow \exists \lambda\in K: y_1=\lambda x_1, y_2=\lambda x_2.

Diese Äquivalenzrelation identifiziert zwei Punkte genau dann, wenn sie im selben eindimensionalen Untervektorraum, also auf derselben Gerade durch den Nullpunkt liegen.

Homogene Koordinaten[Bearbeiten]

Jeder Punkt der projektiven Gerade kann in homogenen Koordinaten als

\left[x:y\right]

mit x,y\in K, (x,y)\not=(0,0) dargestellt werden, wobei \left[x:y\right]=\left[\lambda x:\lambda y\right] für alle \lambda\in K gilt.

Zahlengerade erweitert um den Punkt im Unendlichen[Bearbeiten]

Auf der riemannschen Zahlenkugel sind die komplexen Zahlen einschließlich darstellbar.

Die projektive Gerade P^1K kann mit K\cup\left\{\infty\right\}, der um einen "Punkt im Unendlichen" erweiterten Gerade K^1 identifiziert werden. Man kann nämlich die Gerade K=K^1 mit der in homogenen Koordinaten durch

\left\{[x : 1] \in \mathbf P^1(K) \mid x \in K\right\}

gegebenen Teilmenge der P^1K identifizieren. Diese Teilmenge enthält dann alle Punkte der P^1K bis auf einen, den sogenannten "Punkt im Unendlichen":

\infty = [1 : 0].

Beispiele[Bearbeiten]

Automorphismen[Bearbeiten]

Möbiustransformation auf P^1\C=\C\cup\left\{\infty\right\}

Die allgemeine lineare Gruppe GL(2,K) wirkt auf K^2 durch lineare Abbildungen. Die projektive lineare Gruppe  \mathrm{PGL}(2,K) ist die Faktorgruppe  \mathrm{GL} (2,K) /K^\times , wobei  K^\times die normale (sogar zentrale) Untergruppe der skalaren Vielfachen  k \cdot \mathrm{id}_{K^2} der Identität  \mathrm{id}: K^2 \rightarrow K^2 ist mit  k aus  K \setminus \{0\} . Die Wirkung von GL(2,K) auf K^2 induziert eine wohldefinierte Wirkung von PGL(2,K) auf P^1K. Die Automorphismen von P^1K sind per Definition die durch Elemente von PGL(2,K) beschriebenen Abbildungen P^1K\to P^1K.

In homogenen Koordinaten wirken die Matrizen als gebrochen-lineare Transformationen:

\left( \begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix} \right) z = \frac{az+b}{cz+d}

nach der Identifizierung \left[x_0:x_1\right] \simeq z:=\frac{x_0}{x_1}\in K\cup\left\{\infty\right\}.

Die Automorphismengruppe wirkt transitiv auf Tripeln paarweise unterschiedlicher Punkte.

Eine fundamentale Invariante der projektiven Geometrie ist das Doppelverhältnis von 4-Tupeln paarweise unterschiedlicher Punkte. Falls K algebraisch abgeschlossen ist, lassen sich zwei solche 4-Tupel genau dann durch einen Automorphismus ineinander überführen, wenn ihr Doppelverhältnis übereinstimmt.

Im Fall K=\C bezeichnet man die Automorphismen von P^1\C als Möbiustransformationen.

Projektive Geraden in der projektiven Ebene[Bearbeiten]

Die projektive Gerade durch zwei gegebene Punkte \left[x_1:y_1:z_1\right] und \left[x_2:y_2:z_2\right] der projektiven Ebene bestimmt man, indem man die beiden Punkte als Geraden im K^3 auffaßt (und durch ihre Geradengleichung beschreibt), die sie enthaltende Ebene im K^3 berechnet (siehe Ebenengleichung) und diese Ebene dann auf eine projektive Gerade in P^2K projiziert.

Analog bestimmt man projektive Geraden durch zwei gegebene Punkte in einem höherdimensionalen projektiven Raum.

Literatur[Bearbeiten]

  • Klein, Felix: Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus. Zweiter Band: Geometrie. Dritte Auflage. Ausgearbeitet von E. Hellinger. Für den Druck fertig gemacht und mit Zusätzen versehen von Fr. Seyfarth. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 15 Springer-Verlag, Berlin 1968
  • Aczél, J.; Gołąb, S.; Kuczma, M.; Siwek, E.: Das Doppelverhältnis als Lösung einer Funktionalgleichung. Ann. Polon. Math. 9 1960/1961 183–187.
  • Kerby, William: Eine Bemerkung über die Gruppen PGL(2,F). Results Math. 15 (1989), no. 3-4, 291–293.

Weblinks[Bearbeiten]