Projektive Gerade

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In der Mathematik, insbesondere der projektiven Geometrie ist die projektive Gerade ein eindimensionaler projektiver Raum.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Körper, zum Beispiel der Körper der reellen oder komplexen Zahlen oder ein endlicher Körper. Es sei der (bis auf Isomorphie eindeutige) zweidimensionale -Vektorraum. Die projektive Gerade ist die Menge der eindimensionalen Untervektorräume von .

Mit anderen Worten: die projektive Gerade ist der Quotientenraum

bezüglich der Äquivalenzrelation

.

Diese Äquivalenzrelation identifiziert zwei Punkte genau dann, wenn sie im selben eindimensionalen Untervektorraum, also auf derselben Gerade durch den Nullpunkt liegen.

Homogene Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder Punkt der projektiven Gerade kann in homogenen Koordinaten als

mit dargestellt werden, wobei für alle gilt.

Zahlengerade erweitert um den Punkt im Unendlichen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf der riemannschen Zahlenkugel sind die komplexen Zahlen einschließlich darstellbar.

Die projektive Gerade kann mit , der um einen "Punkt im Unendlichen" erweiterten Gerade identifiziert werden. Man kann nämlich die Gerade mit der in homogenen Koordinaten durch

gegebenen Teilmenge der identifizieren. Diese Teilmenge enthält dann alle Punkte der bis auf einen, den sogenannten "Punkt im Unendlichen":

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die reelle projektive Gerade ist homöomorph zum Kreis .
  • Die komplexe projektive Gerade wird als Riemannsche Zahlenkugel bezeichnet, sie ist homöomorph zur 2-Sphäre .
  • Die projektive Gerade über dem endlichen Körper hat Elemente.

Automorphismen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Möbiustransformation auf

Die allgemeine lineare Gruppe wirkt auf durch lineare Abbildungen. Die projektive lineare Gruppe ist die Faktorgruppe , wobei die normale (sogar zentrale) Untergruppe der skalaren Vielfachen der Identität ist mit aus . Die Wirkung von auf induziert eine wohldefinierte Wirkung von auf . Die Automorphismen von sind per Definition die durch Elemente von beschriebenen Abbildungen .

In homogenen Koordinaten wirken die Matrizen als gebrochen-lineare Transformationen:

nach der Identifizierung .

Die Automorphismengruppe wirkt transitiv auf Tripeln paarweise unterschiedlicher Punkte.

Eine fundamentale Invariante der projektiven Geometrie ist das Doppelverhältnis von 4-Tupeln paarweise unterschiedlicher Punkte. Falls K algebraisch abgeschlossen ist, lassen sich zwei solche 4-Tupel genau dann durch einen Automorphismus ineinander überführen, wenn ihr Doppelverhältnis übereinstimmt.

Im Fall bezeichnet man die Automorphismen von als Möbiustransformationen.

Projektive Geraden in der projektiven Ebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die projektive Gerade durch zwei gegebene Punkte und der projektiven Ebene bestimmt man, indem man die beiden Punkte als Geraden im auffaßt (und durch ihre Geradengleichung beschreibt), die sie enthaltende Ebene im berechnet (siehe Ebenengleichung) und diese Ebene dann auf eine projektive Gerade in projiziert.

Analog bestimmt man projektive Geraden durch zwei gegebene Punkte in einem höherdimensionalen projektiven Raum.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Klein, Felix: Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus. Zweiter Band: Geometrie. Dritte Auflage. Ausgearbeitet von E. Hellinger. Für den Druck fertig gemacht und mit Zusätzen versehen von Fr. Seyfarth. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 15 Springer-Verlag, Berlin 1968
  • Aczél, J.; Gołąb, S.; Kuczma, M.; Siwek, E.: Das Doppelverhältnis als Lösung einer Funktionalgleichung. Ann. Polon. Math. 9 1960/1961 183–187.
  • Kerby, William: Eine Bemerkung über die Gruppen PGL(2,F). Results Math. 15 (1989), no. 3-4, 291–293.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]