Projektive Varietät

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In der klassischen algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine projektive Varietät ein geometrisches Objekt, das durch homogene Polynome beschrieben werden kann.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein fest gewählter, algebraisch abgeschlossener Körper.

Der -dimensionale projektive Raum über dem Körper ist definiert als

für die Äquivalenzrelation

.

Die Äquivalenzklasse des Punktes wird mit bezeichnet.

Für ein homogenes Polynom und einen Punkt ist die Bedingung unabhängig von den gewählten homogenen Koordinaten von .

Eine projektive algebraische Menge ist eine Teilmenge des projektiven Raumes, die die Form

für homogene Polynome in hat.

Eine projektive Varietät ist eine irreduzible projektive algebraische Menge, d.h. die Polynome sollen ein Primideal in erzeugen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • ist eine projektive Varietät mittels der Segre-Einbettung
(in lexikographischer Ordnung).

Invarianten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Das Hilbert-Samuel-Polynom des homogenen Koordinatenringes , wenn die projektive Varietät durch das homogene Primideal definiert ist. Aus dem Hilbert-Samuel-Polynom ergeben sich insbesondere die Dimension, der Grad und das arithmetische Geschlecht der Varietät.
  • Die Picardgruppe (die Gruppe der Isomorphismenklassen von Linienbündeln) und die Jacobi-Varietät (der Kern von ).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]