Punktierter topologischer Raum

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Ein punktierter topologischer Raum ist ein Paar (X,x0), bestehend aus einem topologischen Raum X und einem Punkt x0 in X (Grundpunkt, Basispunkt, ausgezeichneter Punkt). Eine punktierte (stetige) Abbildung (X,x0) → (Y,y0) ist eine stetige Abbildung X → Y, die x0 auf y0 abbildet.

Häufig wird der Grundpunkt auch einfach mit einem Stern bezeichnet.

Ist die Inklusion \{x_0\} \hookrightarrow X eine Kofaserung, so spricht man von einem wohlpunktierten Raum.[1]

Ein topologischer Raum heißt homogen, wenn je zwei punktierte topologische Räume auf ihm isomorph sind.

Kategorielle Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Kategorie der punktierten topologischen Räume ist isomorph zur Kommakategorie \{\star\} \downarrow \operatorname{Top}. Sie besitzt Nullobjekte (diejenigen Räume, welche nur aus dem einen Punkt bestehen). Produkte sind die gewöhnlichen Produkte topologischer Räume, Koprodukte sind Ein-Punkt-Vereinigungen, also disjunkte Vereinigungen, bei denen die jeweiligen ausgezeichneten Punkte miteinander identifiziert werden, geschrieben X\vee Y.

Homotopieklassen punktierter Abbildungen[Bearbeiten]

Zwei punktierte Abbildungen

f,g\colon (X,x_0)\to(Y,y_0)

heißen homotop, wenn es eine stetige Abbildung H\colon X\times\left[0,1\right]\to Y mit

H(x,0)=f(x), H(x,1)=g(x)\ \forall x\in X
H(x_0,t)=y_0\ \forall t\in\left[0,1\right]

gibt. Die Menge der Homotopieklassen punktierter Abbildungen wird mit \left[X,Y\right] bezeichnet.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago 1999. ISBN 0-226-51183-9: Abschnitt 8.3