Punktschätzer

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Als Punktschätzer bezeichnet man in der mathematischen Statistik eine Schätzfunktion, die jeder Stichprobe einen Wert zuordnet, der eine gewisse Eigenschaft des zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsmaßes schätzen soll. In den meisten Anwendungen ist die interessierende Größe ein Parameter der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Beobachtungen (wie z.B. der Mittelwert einer Normalverteilung )

Punktschätzer sind neben Bereichsschätzern zentrales Untersuchungsobjekt der Schätztheorie und im allgemeineren Sinne eine Entscheidungsfunktion, die vorliegenden Beobachtungen einen Schätzwert der interessierenden Größe zuordnet.

Ein Punktschätzer ist eine Funktion der zufälligen Beobachtungen, eine Punktschätzung der errechnete Wert des Punktschätzers für vorliegende Beobachtungen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein statistisches Modell sowie ein Entscheidungsraum . Für jedes ist also auch in der σ-Algebra enthalten. Dann heißt eine messbare Funktion

ein Punktschätzer. Für alle ist also immer .

Meist wird als Entscheidungsraum gewählt.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein Binomialmodell, also ein statistisches Modell mit und sowie als Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen die Binomialverteilungen für .

Dieses Modell formalisiert beispielsweise, wie oft nach n-maligem Münzwurf „Kopf“ geworfen wurde. Offensichtliche Fragestellung ist nun, aufgrund der vorliegenden Daten die Wahrscheinlichkeit zu schätzen, mit der die Münze „Kopf“ zeigt. Passender Entscheidungsraum ist die Grundmenge , da die Wahrscheinlichkeit in diesem Intervall liegen muss, versehen mit der Borelschen σ-Algebra , die alle Punktmengen enthält.

Ein möglicher Punktschätzer wäre dann beispielsweise

definiert durch

.

Wie gut und sinnvoll solche Punktschätzer sind, muss jedoch noch getrennt untersucht werden. Denn ebenso wäre

ein möglicher Punktschätzer. Er liefert aber unabhängig von der Anzahl der Würfe, die „Kopf“ zeigen, dass die Münze fair ist, was augenscheinlich unsinnig ist.

Verwendung und Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Punktschätzer werden insbesondere benutzt für die Schätzung von:

Klassische und bewährte Methoden zur Konstruktion von Punktschätzern sind

Hauptartikel: Schätzmethode (Statistik)

Qualitätskriterien für Punktschätzer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für Punktschätzer existieren verschiedene Qualitätskriterien. Die vier gängigsten sind die Suffizienz, Effizienz, Erwartungstreue und Konsistenz.

  • Suffizienz garantiert, dass der Punktschätzer alle für die Schätzung relevanten Daten betrachtet.
  • Erwartungstreue (Unverzerrtheit, Unverfälschtheit): Ein Punktschätzer ist erwartungstreu, wenn er im Mittel den tatsächlichen Wert der interessierenden Größe korrekt angibt. In diesem Sinne besitzt die Schätzung keinen systematischen Fehler.
  • Konsistenz: Konsistenz bedeutet anschaulich, dass sich für eine wachsende Zahl von Beobachtungen die Punktschätzung tendenziell dem tatsächlichen Wert der interessierenden Größe annähert.
  • Effizienz: Effizient ist ein Punktschätzer, wenn seine Streuung im Vergleich zu anderen Punktschätzern minimal ist. In diesem Sinne besitzt ein effizienter Schätzer keine unnötige Streuung.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]