Pyramidenstumpf

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Schiefer Pyramidenstumpf
Netz des Pyramidenstumpfes einer regelmäßigen quadratischen Pyramide. Das Netz besteht aus einer jeweils quadratischen Grundfläche und Deckfläche sowie einer Mantelfläche aus vier kongruenten gleichschenkligen Trapezen.

Ein Pyramidenstumpf ist ein Begriff aus der Geometrie, der einen speziellen Typ von Polyedern (Vielflächnern) beschreibt. Ein Pyramidenstumpf entsteht dadurch, dass man von einer Pyramide (Ausgangspyramide) parallel zur Grundfläche an den Mantelflächen eine kleinere, ähnliche Pyramide (Ergänzungspyramide) abschneidet.

Die beiden parallelen Flächen eines Pyramidenstumpfes sind zueinander ähnlich. Die größere dieser beiden Flächen bezeichnet man als Grundfläche, die kleinere als Deckfläche. Den Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche nennt man die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Das Volumen eines Pyramidenstumpfes kann mit Hilfe der folgenden Formel berechnet werden:

Dabei stehen für den Flächeninhalt der Grundfläche, für den Flächeninhalt der Deckfläche und für die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Für die aus Trapezen zusammengesetzte Mantelfläche gibt es keine einfache Formel. Je schiefer – bei gleichbleibender Höhe – die Pyramide, bzw. der Pyramidenstumpf ist, desto größer ist die jeweils zugehörige Mantelfläche.

Beweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Volumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Berechnung des Volumens des Pyramidenstumpfes werden als Höhe der Ausgangspyramide und als Höhe der Ergänzungspyramide definiert, sodass gilt. Aus der zentrischen Streckung folgt, dass

und daher auch .

Dabei ist der Streckfaktor der zentrischen Streckung.

Das Volumen des Pyramidenstumpfes ergibt sich aus der Differenz zwischen dem Volumen der Ausgangspyramide und dem Volumen der Ergänzungspyramide:

.

Aus und folgt .

Die Substitution ergibt und .

Damit kann man das Volumen umschreiben:

.

Mit Hilfe der Formel angewendet auf und ist das Volumen

oder einfacher

.

Der Faktor ist die Höhe :

.

Daraus ergibt sich

.

Grenzfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nähert sich die Grundfläche und Deckfläche einem Kreis, erhält man einen Kegelstumpf, für den dieselbe Volumenformel gilt. Geht die Höhe der Ausgangspyramide gegen unendlich, dann nähert sich der Flächeninhalt dem Flächeninhalt und man erhält man ein Prisma, dessen Volumenformel sich wegen vereinfacht. Geht A2 gegen 0, dann erhält man eine Pyramide.

Regelmäßiger Pyramidenstumpf[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein regelmäßiger Pyramidenstumpf hat jeweils ein regelmäßiges Vieleck als Grundfläche und als Deckfläche. Die Mantelfläche besteht aus kongruenten gleichschenkligen Trapezen. Der Mittelpunkt der Deckfläche liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.

Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quadratischer Pyramidenstumpf
Größen ohne Raumwinkel in den Ecken
Größen eines regelmäßigen Pyramidenstumpfs (regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a1 als Grundfläche, regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a2 als Deckfläche und Höhe h)
Allgemeiner Fall Quadratischer Pyramidenstumpf
Volumen
Oberflächeninhalt
Flächeninhalt der Grundfläche
Flächeninhalt der Deckfläche
Flächeninhalt der Mantelfläche
Steilkantenlänge
Innenwinkel der regelmäßigen Grundfläche
Basiswinkel der gleichschenkligen Trapeze
Winkel zwischen Grundfläche und gleichschenkligen Trapezen
Diederwinkel zwischen den gleichschenkligen Trapezen
Winkel zwischen Kante und Grundfläche
Raumwinkel an der Grundfläche

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Rolf Baumann: Geometrie für die 9./10. Klasse. Zentrische Streckung, Satz des Pythagoras, Kreis- und Körperberechnungen. 4. Auflage. Mentor-Verlag, München 2003, ISBN 3-580-63635-9, S. 95 ff.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Pyramidenstumpf – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Pyramidenstumpf – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen