Pyramidenstumpf

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Pyramidenstumpf

Ein Pyramidenstumpf ist ein Begriff aus der Geometrie, der einen speziellen Typ von Polyedern (Vielflächnern) beschreibt. Ein Pyramidenstumpf entsteht dadurch, dass man von einer Pyramide (Ausgangspyramide) parallel zur Grundfläche eine kleinere, ähnliche Pyramide (Ergänzungspyramide) abschneidet.

Die beiden parallelen Flächen eines Pyramidenstumpfes sind zueinander ähnlich. Die größere dieser beiden Flächen bezeichnet man als Grundfläche, die kleinere als Deckfläche. Den Abstand zwischen Grund- und Deckfläche nennt man die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Das Volumen eines Pyramidenstumpfes kann mit Hilfe der folgenden Formel berechnet werden:

Dabei stehen A1 für die Grundfläche, A2 für die Deckfläche und h für die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Für die Mantelfläche gibt es keine einfache Formel. Sie kann bei sehr schiefen Pyramiden und Pyramidenstümpfen beliebig groß werden.

Beweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Volumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Berechnung des Volumens des Pyramidenstumpfes werden als Höhe der Ausgangspyramide und als Höhe der Ergänzungspyramide definiert. Aus der zentrischen Streckung folgt, dass

und daher auch .

Dabei ist ist der Streckfaktor der zentrischen Streckung.

Das Volumen des Pyramidenstumpfes ergibt sich aus der Differenz zwischen dem Volumen der Ausgangspyramide und dem Volumen der Ergänzungspyramide:

.

Aus und folgt .

Die Substitution ergibt und .

Damit kann man das Volumen umschreiben:

.

Mit Hilfe der Formel angewendet auf und ist das Volumen

oder einfacher

.

Der Faktor ist die Höhe :

.

Daraus ergibt sich

.

Entartungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Streben Grundfläche und Deckfläche gegen einen Kreis, erhält man einen Kegelstumpf, für den dieselbe Volumenformel gilt.
  • Strebt A2 gegen A1, erhält man ein Prisma, dessen Volumenformel sich durch A1 = A2 = A entsprechend vereinfacht.
  • Strebt A2 gegen 0, erhält man eine Pyramide.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rolf Baumann: Geometrie für die 9./10. Klasse. Zentrische Streckung, Satz des Pythagoras, Kreis- und Körperberechnungen. 4. Auflage. Mentor-Verlag, München 2003, ISBN 3-580-63635-9, S. 95 ff.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Pyramidenstumpf – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Pyramidenstumpf – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen