Pythagoreische Primzahl

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In der Zahlentheorie ist eine pythagoreische Primzahl[1] (vom englischen pythagorean prime) eine Primzahl der Form mit (nicht zu verwechseln mit Pythagoraszahl). Ist eine Primzahl keine pythagoreische Primzahl, so heißt sie nicht-pythagoreische Primzahl.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die kleinsten pythagoreischen Primzahlen sind die folgenden:
5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397, 401, 409, 421, 433, 449, 457, 461, 509, 521, 541, 557, 569, 577, 593, 601, 613, 617, … (Folge A002144 in OEIS)

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jede pythagoreische Primzahl kann als Summe von zwei Quadraten dargestellt werden.
Beweis:
Der Beweis folgt direkt aus Fermatschem Satz über die Summe von zwei Quadraten. Hie und da nennt man diesen Satz auch Girard’s Theorem.[2]
Beispiel:
, , …
  • Die Umkehrung der obigen Eigenschaft gilt ebenfalls:
Ist die Summe von zwei Quadraten eine ungerade Primzahl, so ist sie eine pythagoreische Primzahl.
Beweis:
Der Beweis folgt ebenfalls direkt aus Fermatschem Satz über die Summe von zwei Quadraten:
Für das Quadrat einer geraden Zahl mit gilt: .
Für das Quadrat einer ungeraden Zahl mit gilt: .
Für ungerade Primzahlen gilt: (für pythagoreische Primzahlen) oder (für nicht-pythagoreische Primzahlen).
Die Summe von zwei Quadratzahlen ist aus obigen Gründen immer , oder , aber niemals . Ist sie also eine ungerade Primzahl, so bleibt nur übrig und das sind genau die pythagoreischen Primzahlen.
Die pythagoreische Primzahl und seine Quadratwurzel als Hypotenusen von rechtwinkligen Dreiecken und wie man aus dem kleinen Dreieck das große berechnen kann
Beweis:
Siehe Satz des Pythagoras
  • Ist die Primzahl die Hypotenusenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks, so ist eine pythagoreische Primzahl und größter Teil eines pythagoreischen Tripels.
  • Es gibt unendlich viele pythagoreische Primzahlen.
Beweis:
Siehe Dirichletscher Primzahlsatz

Das Primrennen zwischen 4n+1 und 4n+3[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei . Dann gilt:

Die Anzahl der pythagoreischen Primzahlen (der Form ) bis ist annähernd gleich wie die Anzahl der nicht-pythagoreischen Primzahlen (der Form ) bis . Im Speziellen ist die Anzahl der pythagoreischen Primzahlen bis oft etwas kleiner. Dieses Phänomen nennt man auf Englisch Chebyshev's bias (en) und stammt vom Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow.[4][5]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Bis gibt es nur zwei Zahlen, unter denen mehr pythagoreische Primzahlen (der Form ) als nicht-pythagoreische (ungerade) Primzahlen (der Form ) existieren, nämlich und . Zwischen und sind es gleich viele und ab gibt es wieder mehr nicht-pythagoreische (ungerade) Primzahlen.
  • Die folgende Liste zeigt an, wann ein „Führungswechsel“ im „Rennen“ pythagoreische Primzahlen gegen nicht-pythagoreische (ungerade) Primzahlen stattfindet (auf englisch Where prime race 4n-1 vs. 4n+1 changes leader):
3, 26861, 26879, 616841, 617039, 617269, 617471, 617521, 617587, 617689, 617723, 622813, 623387, 623401, 623851, 623933, 624031, 624097, 624191, 624241, 624259, 626929, 626963, 627353, 627391, 627449, 627511, 627733, 627919, 628013, 628427, 628937, 629371, … (Folge A007350 in OEIS)

Zusammenhang mit Gaußschen Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Norm einer Gaußschen Zahl der Form ist . Es gilt:

  • Eine pythagoreische Primzahl (inklusive der Primzahl ) kann immer als Norm einer Gaußschen ganzen Zahl dargestellt werden. Ungerade nicht-pythagoreische Primzahlen können das nicht.
  • Eine pythagoreische Primzahl ist keine Primzahl in der Menge der Gaußschen Primzahlen. Der Realteil und der Imaginärteil ihrer Primfaktoren in dieser Faktorisierung sind die Kathetenlängen des rechtwinkligen Dreiecks mit gegebener Hypotenusenlänge .
Beweis:
Es kann jede pythagoreische Primzahl zerlegt werden in .

Quadratische Reste[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Seien zwei verschiedene ungerade Primzahlen, wobei mindestens eine der beiden eine pythagoreische Primzahl sein soll. Dann gilt:[6]
ist quadratischer Rest modulo genau dann, wenn quadratischer Rest modulo ist.
Mit anderen Worten:
Seien mit und . Dann gilt:
Beispiel:
Sei und . Dann ist und somit ist quadratischer Rest modulo . Umgekehrt ist und somit ist quadratischer Rest modulo .
  • Seien zwei verschiedene ungerade Primzahlen, wobei beide nicht-pythagoreische Primzahlen sein sollen. Dann gilt:[6]
ist quadratischer Rest modulo genau dann, wenn kein quadratischer Rest modulo ist.
Mit anderen Worten:
Seien mit und . Dann gilt:
Beispiel:
Sei und . Dann ist und somit ist quadratischer Rest modulo . Umgekehrt gibt es aber kein mit und somit ist kein quadratischer Rest modulo .

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quadratisches Reziprozitätsgesetz

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Zur Schreibweise: Im aktuellen Duden – Das große Wörterbuch der deutschen Sprache in zehn Bänden - ISBN 3-411-70360-1 wird das Adjektiv „pythagoreisch“ in dieser Schreibweise gegeben und die Schreibweise „pythagoräisch“ als österreichische Sonderform bezeichnet.
  2. Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers, Volume II, Diophantine Analysis, Chapter VI. Carnegie Institution of Washington, Publication No. 256, Vol. II, S. 228, abgerufen am 28. Juni 2018 (englisch).
  3. John Stillwell: Elements of Number Theory. Undergraduate Texts in Mathematics, 2003, S. 112, abgerufen am 28. Juni 2018 (englisch).
  4. Eric W. Weisstein: Chebyshev Bias. In: MathWorld (englisch).
  5. Michael Rubinstein, Peter Sarnak: Chebyshev's bias. Experimental Mathematics 3 (3), 1994, S. 173–197, abgerufen am 28. Juni 2018.
  6. a b https://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/number/leit04.pdf Universität Bielefeld

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]