Pythagoreisches Tripel

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Die Tontafel Plimpton 322
Pythagoreische Tripel im kartesischen Koordinatensystem mit x und y von 1 bis 2500. Die deutlich dunklen Linien markieren Tripel der Form (3n)² + (4n)² = (5n)²; weitere Regelmäßigkeiten werden in der Vergrößerung sichtbar.
Die Symmetrie zur 45°-Achse ist eine Folge des Kommutativgesetzes.
x und y von −1000 bis +1000

In der Zahlentheorie wird ein pythagoreisches Tripel oder pythagoreisches Zahlentripel von drei natürlichen Zahlen gebildet, die als Längen der Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks vorkommen können.

Sie finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v. Chr). Die Keilschrifttafel Plimpton 322 enthält 15 verschiedene pythagoreische Tripel,[1] u. a. , und , was darauf schließen lässt, dass bereits vor mehr als 3500 Jahren ein Verfahren zur Berechnung solcher Tripel bekannt gewesen sein muss. Für Ägypten ist die explizite Erwähnung von pythagoräischen Tripeln nur aus einem demotischen Papyrus des 3. Jahrhunderts v. Chr. bekannt[2], doch wurde auch die Verwendung insbesondere der Tripel und für Böschungswinkel bei einigen Pyramiden aus einer Zeit rund zweitausend Jahre vor dem erwähnten Papyrus diskutiert[3].

Das indische Baudhayana-Sulbasutra aus dem 6. Jahrhundert vor Christus enthält fünf pythagoreische Tripel.[4]

Pythagoreische Tripel wurden bei den Griechen von Euklid, nach dem Kommentar von Proklos zu Euklids Elementen von Pythagoras und Platon behandelt und später von Diophant. Wegen des pythagoreischen Lehrsatzes sind sie genau die positiven ganzzahligen Lösungen der diophantischen Gleichung

.

Wenn , und keinen gemeinsamen Teiler haben, spricht man von einem primitiven pythagoreischen Tripel. Bei jedem primitiven Tripel ist ungerade, und von den Zahlen und ist eine gerade und die andere ungerade.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • 3, 4 und 5, denn 9 + 16 = 25. (3, 4, 5) ist das kleinste pythagoreische Tripel. Es ist primitiv. Im Gebrauch einer Zwölfknotenschnur lässt sich damit ein rechter Winkel herstellen.
  • Weitere kleine primitive pythagoreische Tripel sind (5, 12, 13) und (8, 15, 17).
  • (15, 20, 25) = (5·3,4,5) und (15, 36, 39) = (3·5,12,13) sind nicht primitiv.

Die primitiven pythagoräischen Tripel mit sind:

(3, 4, 5) (5, 12, 13) (8, 15, 17) (7, 24, 25)
(20, 21, 29) (12, 35, 37) (9, 40, 41) (28, 45, 53)
(11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73)
(13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97)
(20, 99, 101) (60, 91, 109) (15, 112, 113) (44, 117, 125)
(88, 105, 137) (17, 144, 145) (24, 143, 145) (51, 140, 149)
(85, 132, 157) (119, 120, 169) (52, 165, 173) (19, 180, 181)
(57, 176, 185) (104, 153, 185) (95, 168, 193) (28, 195, 197)
(84, 187, 205) (133, 156, 205) (21, 220, 221) (140, 171, 221)
(60, 221, 229) (105, 208, 233) (120, 209, 241) (32, 255, 257)
(23, 264, 265) (96, 247, 265) (69, 260, 269) (115, 252, 277)
(160, 231, 281) (161, 240, 289) (68, 285, 293)

Erzeugung der pythagoreischen Tripel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Formeln

liefern für beliebige ein pythagoreisches Tripel. Es ist genau dann primitiv, wenn und teilerfremd und nicht beide ungerade sind.

Diese Formeln wurden von Euklid angegeben (Elemente, Buch 10, Proposition 29, Lemma 1)[5]. Sie werden manchmal indische Formeln genannt, da sie explizit schon von dem indischen Mathematiker Brahmagupta (598–668) angegeben werden[6].[7] Möglicherweise waren sie auch den Babyloniern bekannt bei ihrer Erstellung pythagoräischer Tripel[8], denn die Formeln ergeben sich unmittelbar aus der babylonischen Multiplikationsformel:

wenn man , setzt.

Umgekehrt lässt sich jedes primitive Tripel mit Hilfe dieser Formeln aus teilerfremden erzeugen.

Jedes pythagoreische Tripel kann aus einem primitiven Tripel als mit einer positiven ganzen Zahl berechnet werden. Die natürliche Zahl ist der größte gemeinsame Teiler von und damit eindeutig bestimmt.

Beispiele:

  • liefert das Tripel .
  • Multiplikation mit liefert . Es ergibt sich nach den obigen Formeln aus Weil und beide ungerade sind, ist es trotzdem nicht primitiv.
  • liefert das primitive Tripel
  • Multiplikation mit liefert ; dies ist ein pythagoreisches Tripel, das sich nicht nach den „indischen Formeln“ erzeugen lässt. Diese erzeugen nämlich alle primitiven, aber nur einen Teil der nicht-primitiven Tripel.

Herleitung der Formel zur Bildung der pythagoreischen Tripel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein pythagoreisches Tripel, so ergibt die Division der zugehörigen Gleichung durch

Die Zahlen und sind rational und positiv und erfüllen die Koordinatengleichung des Einheitskreises

Also ist ein Punkt mit rationalen Koordinaten auf dem Einheitskreis. Die Gerade durch die Punkte und schneidet die y-Achse in einem Punkt , wobei die Steigung dieser Geraden ist, für die gilt:

Daher ist eine rationale Zahl.

Eliminiert man aus dieser Gleichung und der des Einheitskreises, erhält man mit

eine Bestimmungsgleichung für .

Wegen gilt , sodass man beide Seiten durch dividieren darf:

Damit haben wir also

oder, weil man mit teilerfremden natürliche Zahlen setzen kann:

Dies ergibt das pythagoreische Tripel

Es kann vorkommen, dass , und einen gemeinsamen Teiler haben. Aus würde beispielsweise folgen.

Als einzige Möglichkeit hierfür kommt jedoch in Betracht. Denn angenommen, eine ungerade Primzahl teilte sowohl als auch , so wäre

und

woraus man, weil prim und 2 teilerfremd zu ist, so weiter schließen kann:

Die ungerade Primzahl teilt also und wegen auch . Das steht jedoch in Widerspruch zur Teilerfremdheit von und , sodass nicht ungerade sein kann. Also bleibt nur , was mit offenbar auch tatsächlich möglich und immer der Fall ist.

Man kann solche , die teilerfremd und beide ungerade sind, jedoch aussortieren, ohne primitive pythagoreische Tripel zu verlieren. Denn, wenn und das Tripel ergeben, so ergeben und das Tripel . Dabei sind teilerfremd und nicht beide ungerade.

Weitere Formeln für pythagoräische Tripel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Antike stammen nach Proklos die Formeln von Pythagoras und Plato. Pythagoras gibt die Seitenlängen für ungerades an, Platon für gerade die Seitenlängen an. Setzt man kann man die Formel von Pythagoras auch als für angeben.

Die ersten primitiven pythagoreischen Tripel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach den Euklidischen Regeln erhält man als primitive pythagoreische Tripel zum Beispiel (geordnet nach ):

u v x y z
2 1 3 4 5
4 1 15 8 17
3 2 5 12 13
6 1 35 12 37
5 2 21 20 29
4 3 7 24 25
8 1 63 16 65
7 2 45 28 53
5 4 9 40 41
10 1 99 20 101
9 2 77 36 85
8 3 55 48 73
7 4 33 56 65
6 5 11 60 61

Zwei Folgen von pythagoreischen Tripeln sind noch bemerkenswert:

  • für :
    [9]
    also für jede ungerade Zahl (außer 1) ein Tripel, bei dem die Zahl die kleinste Zahl ist und sich die beiden anderen Zahlen um genau 1 unterscheiden: Dies hängt damit zusammen, dass gemäß der ersten binomischen Formel ist und deshalb jede ungerade Zahl die Differenz zweier benachbarter Quadratzahlen ist. Da das Quadrat einer ungeraden Zahl auch ungerade ist, gibt es zu jeder ungeraden Zahl 2n+1 ein pythagoreisches Tripel (2m+1 = (2n+1)²). Dies entspricht der Formel von Pythagoras.
  • für (und gerades ):

    also für jede natürliche Zahl ein Tripel, das die Zahl enthält, und bei dem sich die beiden anderen Zahlen um genau 2 unterscheiden: Auch dieses ergibt sich aus der ersten binomischen Formel: Jede durch 16 teilbare Quadratzahl lässt sich als schreiben, sodass zu jeder Zahl ein pythagoreisches Tripel existiert

Auch für jede gerade Zahl größer als 2, die kein Vielfaches von 4 ist, kann man mit der ersten Folge ein pythagoreisches Tripel bilden und die Zahlen dann verdoppeln. Somit kann man zu jeder natürlichen Zahl , die größer als 2 ist, ein Zahlenpaar finden, bei ungeradem mit der Differenz 1, bei geradem mit Differenz 2:

x y z
3 4 5
4 3 5
5 12 13
6* 8* 10*
7 24 25
8 15 17
9 40 41
10* 24* 26*
11 60 61
12 35 37
13 84 85
14* 48* 50*
15 112 113
16 63 65
17 144 145
18* 80* 82*
19 180 181
20 99 101

Mit * sind nichtprimitive Tripel markiert. Die Fälle für sind redundant, da sie eine Verdoppelung von darstellen.

Verallgemeinerung auf pythagoräische -Tupel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Pythagoräische Tripel können als Punkte mit ganzzahligen Koordinaten auf einem Kreis mit ganzzahligem Radius aufgefasst werden. Diese Idee lässt sich auf beliebig viele Dimensionen verallgemeinern derart, dass ein pythagoräisches -Tupel einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten auf einer -dimensionalen Hypersphäre mit ganzzahligem Radius darstellt.

Alle diese -Tupel sind Lösungen der diophantischen Gleichung , wobei R den Radius bezeichnet. Für alle Werte von mit sind nach Christopher Heiling für alle -Tupel ganzer Zahlen unendlich viele Lösungen dieser Gleichung durch die folgende Identität gegeben: mit sowie . Damit ergibt sich als Summe von Quadraten ganzer Zahlen und somit als natürliche Zahl zu . Der Beweis erfolgt direkt durch Einsetzen und Vereinfachen:

Beweis der Identität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dies stimmt offensichtlich mit der rechten Seite der Gleichung überein, womit die Gültigkeit der Identität für alle -Tupel ganzer Zahlen gezeigt ist.

Anzahl der Lösungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Anzahl der Lösungen der diophantischen Gleichung hängt sowohl von , als auch von ab. Für und kann die Anzahl der Lösungen für der folgenden Tabelle entnommen werden. Dabei bezeichnet die Anzahl der Lösungen in Dimensionen für den Abstand und die Gesamtanzahl aller Lösungen mit Abstand , es gilt also:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Folge in der OEIS
6 6 30 6 30 30 54 6 102 30 Folge A267651[10]
8 24 104 24 248 312 456 24 968 744 Folge A267326[11]
6 12 42 48 78 108 162 168 270 300 Folge A267309[12]
8 32 136 160 408 720 1176 1200 2168 2912 Folge A264390[13]

Die Einträge in der Folge sind durch teilbar. Danny Rorabaugh hat dies am Beispiel gezeigt[14]. Der Beweis lässt sich problemlos auf alle verallgemeinern.

Gilt so besitzt die diophantische Gleichung lediglich triviale Lösungen der Form . Interessanterweise muss gelten, damit für alle eine nichttriviale Lösung existiert. Dies folgt unmittelbar aus dem Vier-Quadrate-Satz von Lagrange, wonach jede natürliche Zahl (und damit auch jede Quadratzahl) als Summe von höchstens vier Quadratzahlen darstellbar ist und der Tatsache, dass die einzige Darstellung als Summe von Quadratzahlen durch gegeben ist.

Zusammenhang mit den heronischen Dreiecken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jedes zu einem pythagoreischen Tripel gehörige Dreieck ist ein heronisches Dreieck, das heißt, sowohl die Seitenlängen als auch der Flächeninhalt sind rationale Zahlen. Jedes heronische Dreieck lässt sich in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen, die durch pythagoreische Tripel aus rationalen Zahlen gegeben sind.

Die Fermatsche Gleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Verallgemeinerung der pythagoreischen Tripel erhält man, wenn man den Exponenten 2 durch eine natürliche Zahl ersetzt. Man untersucht also die diophantische Gleichung

und sucht nach Lösungen durch natürliche (oder ganze) Zahlen unter Ausschluss der trivialen Lösungen, bei denen eine der drei Zahlen gleich Null ist.

Pierre de Fermat stellte um das Jahr 1637 die Behauptung auf, dass es keine derartigen Tripel gibt. Obwohl er keinen Beweis angab, wird diese Vermutung als großer Fermatscher Satz bezeichnet. Jahrhundertelang konnte kein Beweis gefunden werden. Die Suche danach führte aber zu vielen interessanten Erkenntnissen, insbesondere in der Zahlentheorie. Erst 1995 konnte der Mathematiker Andrew Wiles den Satz von Fermat schließlich beweisen.

Fermat besaß einen Beweis für den Fall und behandelte den eng verwandten Fall eines heronischen Dreiecks, dessen Flächeninhalt ein Quadrat ist (siehe Unendlicher Abstieg). Dieses Problem geht auch auf Diophant zurück.

Algorithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein möglicher Algorithmus in der Programmiersprache Haskell könnte folgendermaßen aussehen. Er erstellt für eine natürliche Zahl alle möglichen Tripel, deren Hypotenuse nicht überschreitet:

pythTripels n = [(k*x, k*y, k*z) | (x,y,z) <- primitives, k <- [1..n`div`z]] where
   primitives = [(p^2-q^2, 2*p*q, p^2+q^2) | p <- takeWhile (\p -> p^2+1 <= n) [1..], q <- takeWhile (\q -> p^2+q^2 <= n) [1..p], odd (p+q) && gcd p q == 1]

In Python ist List Comprehension ein elegantes Mittel, um pythagoreische Tripel zu bestimmen (Beispiel für alle Tripel mit c<100):

[(a,b,c) for a in range(1,100) for b in range(a,100) for c in range(b,100) if a*a + b*b == c*c]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wikiversity: Ein einführender Vortrag zu pythagoreischen Tripeln – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-76490-8.
  • Helmuth Gericke: Mathematik in Antike, Orient und Abendland. Matrix-Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-937715-71-1.
  • Georges Ifrah: The Universal History of Computing. From Prehistory to the Invention of the Computer. Translated from the French by David Bellos, E. F. Harding, Sophie Wood, and Ian Monk. First published in France with the title Histoire universelle des chiffres by Editions Robert Laffont, Paris, in 1994. Harvill Press, London 1998, ISBN 1-86046-324-X.
  • Andreas Loos, Hans-Joachim Rein: Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen und einem Innenwinkel von 60°, 90° oder 120°, in: Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht (MNU), 37. Jahrg., 1984, Heft 5, S. 275–279.
  • Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1365-6.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Georges Ifrah: The Universal History of Computing. From Prehistory to the Invention of the Computer. S. 151.
  2. Corinna Rossi, Mathematics and Architecture in Ancient Egypt, Cambridge UP 2003, S. 217, sie zitiert Richard Parker, Demotic Mathematical Papyri, Brown University Press 1972, S. 3-4, 35-40
  3. Rossi, loc. cit., S. 219. Die Chephren-Pyramide mit einem Böschungswinkel von rund 53 Grad käme demnach für die Verwendung von (3,4,5) in Betracht, die Rote Pyramide mit einem Böschungswinkel von rund 43 Grad für (20,21,29).
  4. Helmuth Gericke: Mathematik in Antike, Orient und Abendland. Matrix-Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-937715-71-1, S. 68.
  5. David Joyce, Euclids Elements
  6. Dickson, History of the Theory of Numbers, Band 2, Carnegie Institution 1920, S. 166
  7. Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1365-6, S. 225.
  8. André Weil, Number theory. An approach through histroy from Hammurapi to Legendre, Birkhäuser 1984, S.8. Als Alternative gibt er die Formel a^2= (b-c) (b+c) an, wobei die Babylonier entsprechend ihrem Zahlensystem auf Basis 60 für a nur Produkte von 2,3,5 genommen hätten und b und c sich durch systematisches Ausprobieren ergäben.
  9. Die letztgenannte Formel nennt schon Pythagoras (etwa 570–510 v. Chr.); vgl. Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1365-6, S. 225.
  10. A267651 - OEIS. Abgerufen am 3. März 2017.
  11. A267326 - OEIS. Abgerufen am 3. März 2017.
  12. A267309 - OEIS. Abgerufen am 3. März 2017.
  13. A264390 - OEIS. Abgerufen am 3. März 2017.
  14. A267651 - OEIS. Abgerufen am 3. März 2017.