Quadrat

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Quadrat mit Seitenlänge a und Diagonale d

In der Geometrie ist ein Quadrat (veraltet auch Geviert) ein spezielles Polygon, nämlich ein ebenes und konvexes Viereck mit vier gleichlangen Seiten, die jeweils paarweise zueinander angeordnet sind. Damit ist es das regelmäßige Polygon mit vier Seiten. Das Quadrat ist ein Sonderfall des Parallelogramms, des Trapezes, des Drachenvierecks, des Rechtecks und der Raute. Für die Konstruktion eines Quadrats genügt eine Angabe, z. B. der Länge der Seite oder der Diagonalen.

Quadrate sind die Begrenzungsflächen eines der platonischen Körper (= dreidimensionale reguläre Polytope), nämlich des Würfels. Das Quadrat ist zudem ein Stein einer regulären Parkettierung. Als Spezialfall entsprechender allgemeiner n-dimensionaler Körper ist das Quadrat sowohl der zweidimensionale Hyperwürfel als auch das zweidimensionale Kreuzpolytop.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für das Quadrat gilt:

Formelsammlung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quadrat mit Umkreis und Inkreis
Größen eines Quadrats mit der Seitenlänge a 
Umfang
Zentriwinkel
Innenwinkel
Inkreisradius
Umkreisradius
Diagonalenlänge
Flächeninhalt

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Quadrat ist ein mit Zirkel und Lineal konstruierbares regelmäßiges Polygon.

Konstruktion mit gegebener Seitenlänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion bei gegebener Seite
  1. Gegeben: Die Seite a mit den Endpunkten A und B.
  2. Ziehe um Ende A einen Kreisbogen (c1, mind. ein Viertelkreis) mit der Seitenlänge als Radius.
  3. Ziehe um Ende B einen Kreisbogen (c2, mind. ein Viertelkreis) mit der Seitenlänge als Radius. Der Schnittpunkt der Kreise ist Punkt M.
  4. Zeichne eine Gerade durch die Punkte B und M (mind. doppelt so lang wie BM)
  5. Zeichne einen Thaleskreis um M durch B. Man erhält Punkt E.
  6. Zeichne eine Gerade durch die Punkte A und E. Der Schnittpunkt mit c1 ist Ecke D des späteren Quadrats.
  7. Ziehe um D der einen Kreisbogen (c3) mit der Seitenlänge als Radius. Der Schnittpunkt mit c2 ist Ecke C.
  8. Verbinde die Ecken zu einem Quadrat.

Konstruktion mit gegebener Diagonale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion bei gegebener Diagonale
  1. Gegeben: Die Diagonale d mit den Endpunkten A und C.
  2. Konstruiere auf der Diagonale die Mittelsenkrechte (blau). Der Schnittpunkt mit der Diagonalen ist der Mittelpunkt M.
  3. Ziehe um M einen Kreis durch A. Die Schnittpunkte mit der Mittelsenkrechten sind die beiden fehlenden Ecken B und D.
  4. Verbinde die Ecken A, B, C, und D zyklisch miteinander.

Animationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quadrat mit gegebener Seitenlänge. Es funktioniert auch mit einem anderen Mittelpunkt, Animation Quadrat mit gegebener Diagonale, Animation
Quadrat mit gegebener Seitenlänge. Es funktioniert auch mit einem anderen Mittelpunkt, Animation
Quadrat mit gegebener Diagonale, Animation

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff Quadrat wird in der synthetischen Geometrie der affinen Ebene verallgemeinert, indem eine der äquivalenten Aussagen, die ein Quadrat in der elementaren Geometrie beschreiben, zur Definition des Begriffes verwendet wird. Zum Beispiel wird für präeuklidische Ebenen die Existenz dieser Figuren zu einem zusätzlichen Axiom.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Quadrat – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Commons: Quadrate – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wikibooks: Quadrat – Lern- und Lehrmaterialien